Exercitations de mathématique 1, Exercices de Mathématiques Appliqués. Université Bordeaux I
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Eusebe_S21 May 2014

Exercitations de mathématique 1, Exercices de Mathématiques Appliqués. Université Bordeaux I

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Exercitations de mathématique - Nouvelle–Calédonie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormal, l’espace, la probabilité, l’expression.
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Baccalauréat

Terminale S mars 2009

Nouvelle–Calédonie

1. Exercice 1

4 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v direct d’unité graphique 1 cm. On considère les

points A et B d’affixes respectives zA = 1 et zB = 3 + 4i. Soit C et D les points d’affixes respectives

 2 3 2 3Cz i    et  2 3 2 3Dz i     . L’ objet de l’exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C.

1. a. Montrer que l’image du point B par la rotation de centre A et d’angle 2

3

 est le point D.

b. En déduire que les points B et D sont sur un cercle (C) de centre A dont on déterminera le rayon.

2. Soit F, l’image du point A par l’homothétie de centre B et de rapport 3

2 .

a. Montrer que l’affixe zF du point F est −2i.

b. Montrer que le point F est le milieu du segment [CD].

c. Montrer que 3C F

A F

z z i

z z

  

 . En déduire la forme exponentielle de C F

A F

z z

z z

 . Déduire des questions

précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD].

3. Proposer un programme de construction pour les points D et C à partir des points A, B et F et réaliser la figure.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

2. Exercice 2 (non spécialistes)

5 points

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( ; , , )O i j k . On considère les points :

A(4 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0), C(0 ; 0 ; 3) et 2 2 1

; ; 3 3 9

E  

   

.

On se propose de déterminer de deux façons la distance E du point E au plan (ABC).

RAPPEL : Soit (P) un plan d’équation ax +by +cz +d = 0 où a, b, c et d sont des nombre réels avec, a, b

et c non tous nuls et M un point de coordonnées (xM ; yM ; zM) la distance M du point M au plan (P) est

égale à

2 2 2

M M Max by cz d

a b c

  

 

.

1. a. Montrer que les points A, B et C déterminent bien un plan.

b. Soit n le vecteur de coordonnées (3 ; 6 ; 4). Montrer que n est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Montrer qu’une équation du plan (ABC) est : 3x + 6y + 4z − 12 = 0.

d. Déduire des questions précédentes la distance E .

2. a. Montrer que la droite (D) de représentation paramétrique :

1

2 ,

5 4

9 3

x t

y t t

z t

      

    

, est perpendiculaire

au plan (ABC) et passe par le point E.

b. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal G du point E sur le plan (ABC).

c. Retrouver à partir des coordonnées des points E et G la distance E .

3. Exercice 3

5 points

Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.

La probabilité que la première cible soit atteinte est 1

2 . Lorsqu’une cible est atteinte, la probabilité que

la suivante le soit est 3

4 . Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte

est 1

2 .

On note, pour tout entier naturel n non nul :

An l’évènement : « la n-ième cible est atteinte ».

nA l’évènement : « la n-ième cible n’est pas atteinte.

an la probabilité de l’évènement An

bn la probabilité de l’évènement nA .

1. Donner a1 et b1. Calculer a2 et b2. On pourra utiliser un arbre pondéré.

2. Montrer que, pour tout n , n > 1 : 1 3 1

4 2 n n na a b   puis : 1

1 1

4 2 n na a   .

3. Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n non nul, par 2

3 n nU a  .

a. Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique. On précisera la raison et le premier terme U1.

b. En déduire l’expression de Un en fonction de n, puis l’expression de an en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (an).

d. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que : an >0,6665.

4. Exercice 4

6 points

Soit f une fonction définie pour tout nombre réel x par    1 xf x x e  .

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j d’unité graphique 1 cm.

1. a. Étudier le signe de  f x sur .

b. Déterminer la limite de la fonction f en  . Déterminer la limite de la fonction f en  .

c. On note f  la fonction dérivée de la fonction f sur . Calculer, pour tout nombre réel x,  f x .

En déduire les variations de la fonction f sur .

d. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [–2 ; 5].

2. On note (In) la suite définie pour tout entier naturel n par :   1

n

nI f x dx

  .

Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de In en fonction de n.

a. Montrer que, pour tout n: In > 0.

b. Montrer que la suite (In) est croissante.

3. a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tous réels a et b :

     2 2 b

b a

a

f x dx b e a e      .

b. En déduire l’expression de In en fonction de n.

c. Déterminer : lim n n

I 

.

d. Donner une interprétation graphique de cette limite.

4. Déterminer   tel que :   1

f x dx e

 . Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d’aire ?

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