Exercitations de mathématique 10, Exercices de Mathématiques Appliqués
Eusebe_S
Eusebe_S21 May 2014

Exercitations de mathématique 10, Exercices de Mathématiques Appliqués

PDF (220.6 KB)
5 pages
161Numéro de visites
Description
Exercitations de mathématique - Liban. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la probabilité de l’évènement B, les variations de la fonction f, les nombres complexes.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 5
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Baccalauréat

Terminale S juin 2009

Liban

1. Exercice 1

3 points

Pour chacune des trois questions. une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie, sans justification. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

1. On désigne par Aet Bdeux évènements indépendants d’un univers muni d’une loi de probabilité p.

On sait que   4

A B 5

p   et   3

A 5

p  . La probabilité de l’évènement Best égale à :

a. 2

5 b.

2

3 c.

3

5 d.

1

2

2. On note X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre 0,04  .

On rappelle que pour tout réel t positif, la probabilité de l’événement X t , notée  p X t , est donnée

par   0

t xp X t e dx    . La valeur approchée de p(X > 5) à 10–2 près par excès est égale à :

a. 0,91 b. 0,18 c. 0,19 d. 0,82

3. Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre. S’il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à 1

10 ;

s’il ne pleut pas, je sors mon chien avec une probabilité égale à 9

10 . Je sors mon chien ; la probabilité

qu’il ne pleuve pas est égale à :

a. 9

10 b.

27

40 c.

3

4 d.

27

28

2. Exercice 2

8 points

On considère la fonction f définie sur  par     1ln 1 3

xf x e x   .

La courbe (C) représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal est donnée ci- dessous. Cette figuree sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

Partie A

1. a. Déterminer la limite de la fonction f en  .

b. Montrer que la droite (D) d’équation 1

3 y xest asymptote à la courbe (C). Tracer (D).

c. Étudier les positions relatives de (D) et de (C).

d. Montrer que pour tout réel x,     2ln 1 3

xf x e x   .

e. En déduire la limite de f en  .

2. a. On note f  la fonction dérivée de la fonction f. Montrer que pour tout x réel,    

2 '

3 1

x

x

e f x

e

 

 .

b. En déduire les variations de la fonction f.

Partie B

Soit n un entier naturel non nul. On appelle dn, l’aire, en unités d’aire, du domaine du plan délimité par

la courbe (C), la droite (D) d’équation 1

3 y xet les droites d’équations x = 0 et x = n.

1. Justifier que pour tout entier naturel n non nul,   0

ln 1 n

x nd e dx

  .

2. On admet que pour tout réel x,  ln 1 x xe e   . Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, 1nd  . La suite (dn) est-elle convergente ?

Partie C

Dans cette partie, on cherche àmettre en évidence une propriété de la courbe (C).

On note (T) la tangente à la courbe (C) au point d’abscisse 0.

1. Calculer le coefficient directeur de (T) puis construire (T) sur le graphique.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soient M et N deux points de la courbe (C) d’abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite (MN) est parallèle à la droite (T).

3. Exercice 3

4 points

On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1.

On désigne par I le milieu de [EF] et par J le symétrique de E par rapport à F.

Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormal ( ; , , )A AB AD AE .

1. a. Déterminer les coordonnées des points I et J.

b. Vérifier que le vecteur DJ est un vecteur normal au plan (BGI).

c. En déduire une équation cartésienne du plan (BGI).

d. Calculer la distance du point F au plan (BGI).

2. On note (  ) la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).

a. Donner une représentation paramétrique de la droite (  ).

b. Montrer que la droite (  ) passe par le centre K de la face ADHE.

c. Montrer que la droite (  ) et le plan (BGI) sont sécants en un point, noté L, de coordonnées

2 1 5 ; ;

3 6 6

     

.

d. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Le point L est-il l’orthocentre du triangle BGI ?

JI

H G

D C

F E

BA

4. Exercice 4 (non spécialistes)

5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique : 2 cm).

On considère les points A, B et C d’ affixes respectives : 3 3

2 2 Az i   , B Az z et zC = –3.

Partie A

1. Écrire les nombres complexes zA et zB sous forme exponentielle.

2. Placer les points A, B et C.

3. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.

Partie B

Soit f l’application qui, à tout point M d’affixe z du plan, associe le point M’ d’affixe 2 1

' 3

z iz .

On note O’, A’, B’ et C’ les points respectivement associés par f aux points O, A, B et C.

1. a. Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A’, B’ et C’.

b. Placer les points A’, B’ et C’.

c. Démontrer l’alignement des points O, A et B’ ainsi que celui des points O, B et A’.

d. Soit G l’isobarycentre des points O, A, B et C. On note G’ le point associé à G par f. Déterminer les affixes des points G et G’.

Le point G’ est-il l’isobarycentre des points O’, A’, B’ et C’ ?

2. Démontrer que si M appartient à la droite (AB) alors M’ appartient à la parabole d’équation

21 3

3 4 y x   . (On ne demande pas de tracer cette parabole)

5. Exercice 4 (spécialistes)

5 points

Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe un entier naturel n dont l’écriture décimale du cube se

termine par 2009, c’est-à-dire tel que  3 2009 10000n  .

Partie A

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 22009 par 16.

2. En déduire que  80012009 2009 16 .

Partie B

On considère la suite (un) définie sur  par : 2

0 2009 1u   et, pour tout entier naturel n,

  5

1 1 1n nu u    .

1. a. Démontrer que u0 est divisible par 5.

b. Démontrer, en utilisant la formule du binome de Newton, que pour tout entier naturel n,

  4 3 21 5 2 2 1n n n n n nu u u u u u      .

c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un est divisible par 15n .

2. a. Vérifier que 2503 2009 1u   puis en déduire que   2502009 1 625 .

b. Démontrer alors que  80012009 2009 625 .

Partie C

1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que 80012009 2009 est divisible par 10 000.

2. Conclure, c’est-à-dire déterminer un entier naturel dont l’écriture décimale du cube se termine par 2009.

Correction

Partie A

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 22009 par 16 : 22009 =4036081=16 252255 1  ,

donc le reste est 1 et  22009 1 16 .

2. En déduire que  80012009 2009 16 : 8001 8000 12009 2009 2009  , or   4000

8000 22009 2009 ; comme

 22009 1 16 , on a     4000

22009 1 16 et  80012009 2009 16 .

Partie B 20 2009 1u   et   5

1 1 1n nu u   

1. a. Montrer que 0u est divisible par 5 : 0 4036080 5 807216u    donc 0u est divisible par 5.

b. Montrer que   4 3 21 5 2 2 1n n n n n nu u u u u u      :  5 5 4 3 21 5 10 10 5 1n n n n n nu u u u u u      

d’après la formule du binôme d’où   5

1 1 1n nu u    = 5 4 3 25 10 10 5 1n n n n nu u u u u     et donc

5 4 3 2 1 5 10 10 5n n n n n nu u u u u u      .

Par ailleurs :   4 3 25 2 2 1n n n n nu u u u u    = 5 4 3 25 10 10 5n n n n nu u u u u    = 1nu  . c. Montrer par récurrence que nu est divisible par 5 :

* 0u est divisible par 5 d’après 1.a ;

* supposons que pour un certain n , 15nnu k  avec k , montrons qu’alors 21 5 '

n nu k

  

avec 'k  :   4 3 21 5 2 2 1n n n n n nu u u u u u      =     4

1 1 3 25 5 5 2 2 1n n n n nk k u u u         

, soit

1nu         1 4 4 4 3 2 1 25 5 5 2 2 1 5 5 5 'n n n nn n nk k u u u k l k         avec l et 'k  (les nu étant des entiers naturels). On a donc bien nu divisible par 5 pour tout n .

2. a. Montrer que 2503 2009 1u   et que   2502009 1 625 : on a  

5

1 1 1n nu u    et 2

0 1 2009u   d’où

  5 10

1 01 1 2009u u    ,   5 50

2 11 1 2009u u    et   5 250

3 21 1 2009u u    .

Comme 3u est divisible par 45 625 on en déduit que  3 0 625u  d’où  3 1 1 625u   et donc

 2502009 1 625 .

2. b. Montrer que  80012009 2009 625 :   32

8001 8000 1 2502009 2009 2009 2009 2009    et comme

 2502009 1 625  80002009 1 625 et  80012009 2009 625 .

Partie C

1. Montrer que  80012009 2009 0 10000  : on a vu précédemment que  80012009 2009 16 et que

 80012009 2009 625 . On en déduit que 80012009 2009N   est à la fois multiple de 16 et de 625 ; or si un entier est divisible par deux entiers premiers entre eux il est divisible par leur produit (conséquence du théorème de Gauss).

Comme 16 et 625 sont premiers entre eux, N est divisible par 16 625 10000  .

2. Déterminer un entier tel que  3 2009 10000n  : on sait que  80012009 2009 0 10000  , soit que

 80012009 2009 10000 . Or 8001 3 2667  , on a donc     3

26672009 2009 10000 et 26672009 a

l’écriture décimale de son cube qui se termine par 2009.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome