Exercitations de mathématique 12, Exercices de Mathématiques Appliqués
Eusebe_S
Eusebe_S21 May 2014

Exercitations de mathématique 12, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercitations de mathématique - Antilles Guyane. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L’espace, muni d’un repère orthonormé, la nature de l’ensemble E2.
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Terminale S

Terminale S septembre 2009

Antilles Guyane

1. Exercice 1 (4 points)

VRAI OU FAUX

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

PARTIE A

Soit (un) la suite définie pour tout *n par  1 n

nu   .

1. La suite (un) est bornée.

2. La suite (un) converge.

3. La suite de terme général n u

n converge.

4. Toute suite (vn) à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0.

PARTIE B

1. Si A et B sont deux évènements indépendants avec   0p B  et   1p B  , alors    Bp A B p A  .

2. Si X est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1], alors   0,1 ; 0,6 0,6p X  .

3. Si X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 100 et 1

3 , alors

  100

2 1 1

3 p X

     

  .

2. Exercice 2 (5 points, non spécialistes)

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( ; , , )O i j k .

On considère les points A(1 ; −1 ; 4), B(7 ; −1 ; −2) et C(1 ; 5 ; −2).

1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs AB , AC et BC .

b. Montrer que le triangle ABC est équilatéral.

c. Montrer que le vecteur n (1 ; 1 ; 1) est un vecteur normal au plan (ABC).

d. En déduire que x + y + z − 4 = 0 est une équation cartésienne du plan (ABC).

2. Soit (D) la droite de représentation paramétrique

2

2 2 ,

2 3

x t

y t t

z t

      

   

.

a. Montrer que la droite (D) est perpendiculaire au plan (ABC).

b. Montrer que les coordonnées du point G, intersection de la droite (D) et du plan (ABC) sont (3 ; 1 ; 0).

c. Montrer que G est l’isobarycentre des points A, B et C.

3. Soit (S) la sphère de centre G passant par A.

a. Donner une équation cartésienne de la sphère (S).

b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection E et F, de la droite (D) et de la sphère (S).

3. Exercice 2 (5 points, spécialistes)

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( ; , , )O i j k .

On considère la surface S1 d’équation z = x2 + y2, et la surface S2 d’équation z = xy + 2x.

PARTIE A

On note P le plan d’équation x = 2, E1 l’intersection de la surface S1 et du plan P et E2 l’intersection de la surface S2 et du plan P.

1. a. Déterminer la nature de l’ensemble E1.

b. Déterminer la nature de l’ensemble E2.

2. a. Représenter les ensembles E1 et E2 dans un repère  ; ,A j k du plan P où A est le point de coordonnées (2 ; 0 ; 0).

b. Dans le repère ( ; , , )O i j k donner les coordonnées des points d’intersection B et C des ensembles E1

et E2.

PARTIE B

On pourra utiliser sans démonstration la propriété suivante : « soient a, b et c des entiers avec a premier. Si a divise bc alors a divise b ou a divise c. »

L’objectif de cette partie est de déterminer les points d’intersection M(x ; y ; z) des surfaces S1 et S2 où y et z sont des entiers relatifs et x un nombre premier. On considère un tel point M(x ; y ; z).

1. a. Montrer que y(y − x) = x(z − x).

b. En déduire que le nombre premier x divise y.

2. On pose y = kx avec k .

a. Montrer que x divise 2, puis que x = 2.

b. En déduire les valeurs possibles de k.

3. Déterminer les coordonnées possibles de M et comparer les résultats avec ceux de la PARTIE A, question 2. b.

4. Exercice 3 (5 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v d’unité graphique 1 cm.

Faire une figure que l’on complètera au fur et à mesure des questions.

1. Placer les points A, B et C d’affixes respectives 11 4Az i   , 3 4Bz i   et 5 4Cz i  .

2. Calculer le module et un argument du quotient A B

C B

z z

z z

 et en déduire la nature du triangle ABC.

3. Soit E l’image du point C par la rotation R de centre B et d’angle 4

 . Montrer que l’affixe de E vérifie

 3 8 2 4Ez i    . Placer le point E.

4. Soit D l’image du point E par l’homothétie h de centre B et de rapport 2

2 . Montrer que D est le

centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Placer le point D.

5. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit (  ) la droite parallèle à la droite (EC) passant par le point D. On note F le point d’intersection de la droite (  ) et de la droite (BC), I le milieu du segment [EC] et J le milieu du segment [DF].

Montrer que B, I et J sont alignés.

Correction

1. 11 4Az i   , 3 4Bz i   et 5 4Cz i  .

2.   1 111 4 3 4 8 8 1 2

5 4 3 4 8 8 1 1 1 2

A B

C B

i iz z i i i i i i

z z i i i i

                 

       donc ABC est isocèle

1 A B

C B

z z AB i

z z CB

   

 et rectangle    , arg

2 BC BA i

   .

3.

        4 2 23 4 8 8 3 4 4 2 1 1 3 8 2 4 2 2

i

E B C B Ez z e z z z i i i i i i i

  

                       

.

4. D est sur [AC] car la multiplication de BE = BC par 2

2 redonne la demi-hypothénuse de [AC]. D est

au milieu de [AC] car le triangle BDC est isocèle rectangle également ; c’est donc le centre du cercle circonscrit à ABC.

5. Thalès donne la réponse…

5. Exercice 4 (6 points)

Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; 1] par :   1 lnf x x x  .

On note 'f la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; 1].

C est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j .

Test la droite d’équation y = x.

La courbe C et la droite Tsont représentées sur le schéma ci-dessous.

1. a. Justifier que   0

lim 1 x

f x

 .

b. En utilisant le signe de lnx x sur ]0 ; 1], montrer que, pour tout nombre réel  0 ;1x , on a

  1f x  .

2. a. Calculer  'f x pour tout nombre réel  0 ;1x .

b. Vérifier que la droite Test tangente à la courbe C au point d’abscisse 1.

3. On note g la fonction définie pour tout nombre réel  0 ;1x par   1 lng x x x x   .

a. Étudier les variations de g sur l’intervalle ]0 ; 1] et dresser le tableau de variation de g. On ne cherchera pas la limite de g en 0.

b. En déduire les positions relatives de la courbe C et de la droite T.

4. Soit  un nombre réel tel que 0 1  . On pose     1

1I f x dx

     .

a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que   2 21

ln 2 4 4

I  

    .

b. Déterminer   0

lim I

 

.

c. Interpréter graphiquement le résultat précédent.

d. À l’aide des résultats précédents, déterminer, en unités d’aire, l’aire du domaine compris entre la courbe C, la droite Tet l’axe des ordonnées.

Correction

  1 lnf x x x  .

1. a. Quand x tend vers 0, lnx x tend également vers 0 et   0

lim 1 x

f x

 .

b. Sur ]0 ; 1] lnx x est négatif car ln x l’est ; on a donc 1 ln 1x x  .

2. a.   1

' ln ln 1f x x x x x

    .

b. Tangente en 1 :       ' 1 1 1 1 1 1y f x f x x       .

3. On note g la fonction définie pour tout nombre réel  0 ;1x par   1 lng x x x x   .

a.   1

' 0 ln 1 lng x x x x x

     . Donc g est décroissante sur ]0 ; 1] et comme  1 1 0 1 0g     ,

  0g x  .

b. Le signe de    f x x g x  est positif donc C est au-dessus de T.

4. a.   11 1

2 2 2 21 1 1 1 1 1ln ln ln 2 2 2 4 4

I x xdx x x x dx x 

     

         

.

b.   2 2 0 0

1 1 1 1 1 lim lim ln 0 0

2 4 4 4 4 I

     

         .

c. Aire comprise entre la courbe C, la droite y = 1, la droite x = 1 et l’axe vertical.

d. L’aire en question est l’aire du triangle − l’aire précédente, soit 1/2−1/4=1/4.

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