Exercitations de mathématique 13, Exercices de Mathématiques Appliqués
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Eusebe_S21 May 2014

Exercitations de mathématique 13, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercitations de mathématique - France & La Réunion. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction définie sur l’intervalle, la représentation paramétrique.
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Baccalauréat

Terminale S septembre 2009

France & La Réunion

1. Exercice 1

6 points

Soit f la fonction définie sur l’intervalle  0 ;  par    2ln 4f x x  . Partie A

1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle  0 ;  .

2. Soit g la fonction définie sur l’intervalle  0 ;  par    g x f x x  .

a. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle  0 ;  .

b. Montrer que sur l’intervalle [2 ; 3] l’équation   0g x  admet une unique solution que l’on notera  .

Donner la valeur arrondie de  à 10−1 près.

c. Justifier que le nombre réel  est l’unique solution de l’équation  f x x .

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n par :  1n nu f u  .

La courbe C représentative de la fonction f et la droite  d’équation y = x sont tracées sur le graphique donné ci-dessous.

1. À partir de u0, en utilisant la courbe C et la droite  , on a placé u1 sur l’axe des abscisses.

De la même manière, placer les termes u2 et u3 sur l’axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction.

2. Placer le point I de la courbe C qui a pour abscisse  .

3. a. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a 1 nu   .

b. Démontrer que la suite (un) converge.

c. Déterminer sa limite.

2. Exercice 2

5 points

L’espace est muni d’un repère ( ; , , )O i j k orthonormal.

1. On désigne par P le plan d’équation 1 0x y   et par P’ le plan d’équation 2 0y z   .

Justifier que les plans P et P’ sont sécants et vérifier que leur intersection est la droite D, dont une

représentation paramétrique est :

1

2

x t

y t

z t

   

  

, où t désigne un nombre réel.

2. a. Déterminer une équation du plan R passant par le point O et orthogonal à la droite D.

b. Démontrer que le point I, intersection du plan R et de la droite D, a pour coordonnées (0 ; 1 ; 1).

3. Soient A et B les points de coordonnées respectives 1 1

; 0 ; 2 2

     

et (1 ; 1 ; 0).

a. Vérifier que les points A et B appartiennent au plan R.

b. On appelle A’ et B’ les points symétriques respectifs des points A et B par rapport au point I.

Justifier que le quadrilatère ABAB’ est un losange.

c. Vérifier que le point S de coordonnées (2 ; −1 ; 3) appartient à la droite D.

d. Calculer le volume de la pyramide SABAB’.

On rappelle que le volume V d’une pyramide de base d’aire b et de hauteur h est : 1

3 V b h   .

3. Exercice 3

4 points

Partie A

Soit f la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par   xf x e .

On appelle Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j .

1. Soit a un nombre réel. Démontrer que la tangente à la courbe Cf au point M d’abscisse a coupe l’axe

des abscisses au point P d’ abscisse a − 1.

2. Soit N le projeté orthogonal du point M sur l’axe des abscisses. Démontrer que NP i  .

Partie B

Soit g une fonction dérivable sur l’ensemble des nombres réels telle que  ' 0g x  pour tout nombre réel x.

On appelle Cg la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormal ( ; , )O i j .

Soit a un nombre réel. On considère le point M de la courbe Cg d’abscisse a et le point N projeté orthogonal du point M sur l’axe des abscisses.

Soit P le point d’intersection de la tangente Ta à la courbe Cg au point M avec l’axe des abscisses.

Le graphique ci-dessous illustre la situation de la partie B.

1. Démontrer que le point P a pour coordonnées  

  ; 0

'

g a a

g a

    

 

.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera

prise en compte dans l’évaluation.

Existe-t-il une fonction g vérifiant g (0)= 2 et NP i ?

4. Exercice 4 (non spécialistes)

5 points

Un réparateur de vélos a acheté 30 % de son stock de pneus à un premier fournisseur, 40 % à un deuxième et le reste à un troisième.

Le premier fournisseur produit 80 % de pneus sans défaut, le deuxième 95 % et le troisième 85 %.

1. Le réparateur prend au hasard un pneu de son stock.

a. Construire un arbre de probabilité traduisant la situation, et montrer que la probabilité que ce pneu soit sans défaut est égale à 0,875.

b. Sachant que le pneu choisi est sans défaut, quelle est la probabilité qu’il provienne du deuxième fournisseur ? On donnera la valeur arrondie du résultat à 10−3.

2. Le réparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus à un tirage avec remise de dix pneus.

Quelle est alors la probabilité qu’au plus un des pneus choisis présente un défaut ? On donnera la valeur

arrondie à 10−3.

3. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de kilomètres parcourus par un pneu, sans crevaison. On fait l’hypothèse que X suit une loi exponentielle de paramètre  .

a. Montrer que   500 1000500 1000P X e e      .

b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

La probabilité que le pneu parcoure entre 500 et 1000 kilomètres sans crevaison étant égale à 1

4 ,

déterminer la valeur arrondie à 10−4 du paramètre  .

5. Exercice 4 (spécialistes)

5 points

1. a. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2009 par 11.

b. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 210 par 11.

c. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 22009 + 2009 par 11.

2. On désigne par p un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le

nombre 2nnA p  . On note dn le PGCD de An et An+1.

a. Montrer que dn divise 2n.

b. Déterminer la parité de An en fonction de celle de p. Justifier.

c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la parité de dn en fonction de celle de p.

En déduire le PGCD de 22009 + 2009 et 22010 + 2009.

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