Exercitations de mathématique 2, Exercices de Mathématiques Appliqués
Eusebe_S
Eusebe_S21 May 2014

Exercitations de mathématique 2, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercitations de mathématique - Pondicherry. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: calculer le maximum. Vérifier que, pour tout entier naturel strictement positif. Correction.
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Baccalauréat

Terminale S avril 2009

Pondicherry

1. Exercice 1

7 points

Soit f la fonction définie sur

l’intervalle  0 ;  par :

  2xf x xe .

On désigne par C la courbe représentative de la fonction f dans

un repère orthonormal ( ; , )O i j du

plan. Cette courbe est représentée ci- contre.

Partie A

1. a. Déterminer la limite de la fonction f en  . On pourra écrire, pour x différent de 0,

  2

2

1

x

x f x

x e

  .

b. Démontrer que f admet un maximum en 2

2 et calculer ce maximum.

2. Soit a un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d’aire et en fonction de a, l’aire F(a) de la partie du plan limitée par la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = 0 et x = a.

Quelle est la limite de F(a) quand a tend vers  ?

Partie B

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :   1n

n n

u f x dx

  .

On ne cherchera pas à expliciter un.

1. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n différent de 0 et de 1 :    1 nf n u f n   .

b. Quel est le sens de variation de la suite (un), n > 2 ?

c. Montrer que la suite (un) converge. Quelle est sa limite ?

2. a. Vérifier que, pour tout entier naturel strictement positif n,   1

0

n

k

k

F n u

 .

b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On donne ci-dessous les valeurs de F(n) obtenues à l’aide d’un tableur, pour n entier compris entre 3 et 7.

n 3 4 5 6 7

F(n)0,499 938 295 1

0,499 999 943 7

0,5 0,5 0,5

Interpréter ces résultats.

Correction

Partie A

1. a.   2 2

2

2 2

1 1x

x x

x x f x xe

x xe e

     , or 1

x tend vers 0 et

Xe

X tend vers  donc

2

2x

x

e

tend vers 0. f

tend vers 0.

b.       2 2 22' 2 1 2x x xf x e x x e x e       ; 2 2

1 2 1 2 0

2 2 x x x      (x est > 0, seule la racine

positive nous intéresse).

1

2 2 2 1

2 2 2 f e

e

     

  .

2.     2 2 2 2

0 0 0

1 1 1 1 2

2 2 2 2

aa a x x x aF a xe dx x e dx e e   

          

    . F tend vers 1

2 en  .

Partie B

1. a. La fonction f est décroissante pour x > 1, on a donc      1 1n x n f n f x f n       . On a donc

en intégrant :               1 1 1

1 1 1 1 n n n

n n n n

f n dx f x dx f n dx n n f n u n n f n   

             .

b. On a    1 nf n u f n   , soit    12 1n nf n u f n u     : nu est décroissante.

c. Evidemment tous les termes de la suite sont positifs (intégrale d’une fonction positive) donc nu est

décroissante, minorée par 0, elle converge. Sa limite est comprise entre les limites de  f n et  1f n

lorsque n tend vers  , soit 0.

2. a.           1 1 2

0 1 1 0 0

...

n n n

k n

k

u f x dx f x dx f x dx f x dx F n

 

          .

b. F(3) est une valeur approchée à 10–4 près de la limite F(x), soit de l’aire comprise entre la courbe et l’axe horizontal.

2. Exercice 2 (non spécialistes)

5 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On prendra pour unité graphique

2 cm.

Soit A, B et C les points d’affixes respectives : a = 3 – i, b = 1 – 3i et c = –1 – i.

1. a. Placer ces points sur une figure que l’on complètera au fur et à mesure.

b. Quelle est la nature du triangle ABC ?

c. Démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercle  de centre O, dont on calculera le rayon.

2. Soit M un point quelconque du plan d’affixe notée m et N le point d’affixe notée n, image de A dans la

rotation r de centre M et d’angle de mesure 2

 .

a. Donner l’écriture complexe de la rotation r.

b. En déduire une expression de n en fonction de m.

3. On appelle Q le milieu du segment [AN] et q son affixe. Montrer que  1

2 2

i m q i

    .

4. Dans cette question, M est un point du cercle  .

a. Justifier l’existence d’un réel  tel que : 10 im e .

b. Calculer 2q i  . Quel est le lieu ' de Q lorsque M décrit le cercle  ?

Correction

1. a. Voir plus bas.

b. Le triangle ABC est rectangle isocèle :

1 3 3 2 2 2 2AB i i i        , 1 3 1 2 2 2 2CB i i i       , 4CA  , 2 2 2AB CB CA  .

c. 3 10OA i   , 1 3 10OB i   .

2. a. Ecriture complexe de la rotation r :    2' ' 1 i

z m e z m z iz m i

       .

b.    1 3 1 1An iz m i i m i       .

3.      3 3 1 1 4 2 1 1

2 2 2 2 2

A i i m i i m i m iz n

q i         

      .

4. a.  l’argument de m. M est un point du cercle  donc  arg

10 10 10 i m im m e e    .

b. 1 2 10

2 5 2 2

i m q i

      . Lorsque M décrit le cercle  , Q décrit le cercle de centre 2 + i, de

rayon 5 .

Q

N

M

z=90

C

B

A

y

v

u

xO

3. Exercice 2 (spécialistes)

5 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On prendra pour unité graphique

2 cm.

Soit A et B les points d’affixes respectives Az i et 1 2Bz i  .

1. Justifier qu’il existe une unique similitude directe S telle que : S(O) = A et S(A) = B.

2. Montrer que l’écriture complexe de S est :  ' 1z i z i   .

Préciser les éléments caractéristiques de S (on notera  le centre de S).

On considère la suite de points (An) telle que :

A0 est l’origine du repère et,

• pour tout entier naturel n, An+1 = S(An).

On note zn, l’affixe de An. (On a donc A0 = O, A1 = A et A2 = B).

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n,  1 1 n

nz i   .

b. Déterminer, en fonction de n, les affixes des vecteurs nAet 1n nA A  .

Comparer les normes de ces vecteurs et calculer une mesure de l’angle  1,n n nA A A  . c. En déduire une construction du point An+1 connaissant le point An. Construire les points A3 et A4.

4. Quels sont les points de la suite (An) appartenant à la droite  B ?

Correction

1. et 2. O, A, B sont trois points distincts donc il existe une unique similitude directe S telle que : S(O) = A et S(A) = B.

   .0

' 11 1 2 . 1 1

1

b i i a b b i

z az b i ii i a i b ai i a i

i

     

                    

.

 1 1z i z i iz i z       :  a pour affixe 1 ; 41 2 i

i e

 

  .

3. a. An+1 = S(An) : par récurrence,   0

0 1 1 1 1 0z i      , ok.

          1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n

n nz i z i i i i i i i i  

                    

. ok.

b.  1 1 n

nAn z z i       ,    1 2

nn

An z i      ;

          1

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n

n nA An n z z z i i i i i i

 

                ;

      1

1 1 2 2 n nn

A An n z i i

      .

c. Le triangle OAnAn+1 est rectangle isocèle en O.

u

A5

B

A

A3

y

A4

v

xO

On tourne de 4

  autour de  et on multiplie par 2 : il suffit de prendre la diagonale du carré de côté

nA pour avoir An+1.

4. Il faut faire 4 rotations successives pour se retrouver sur  B . On aura donc tous les points A4k+2.

4. Exercice 3

4 points

Dans un repère orthonormé de l’espace ( ; , , )O i j k , on considère les points : A de coordonnées (1, 1, 0),

B de coordonnées (2, 0, 3), C de coordonnées (0, –2, 5) et D de coordonnées (1, –5, 5).

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est VRAIE ou par FAUSSE en justifiant chaque fois la réponse :

Proposition 1 : L’ensemble des points M de coordonnées (x, y, z) tels que y = 2x + 4 est une droite.

Proposition 2 : La transformation qui, à tout point M de l’espace associe le point M’ tel que

' 2MM MA MB MC  

est l’homothétie de centre G, où G désigne le barycentre du système {(A, 1), (B, 1), (C, 2)}, et de rapport 3.

Proposition 3 : A, B, C et D sont quatre points coplanaires.

Proposition 4 : La sphère de centre  de coordonnées (3, 3, 0) et de rayon 5 est tangente au plan d’équation : 2x + 2y + z + 3 = 0.

Correction

Proposition 1 : FAUX : c’est l’équation d’un plan !

Proposition 2 : FAUX : le rapport est –3.

0

' 2 ' 4 2 ' 4 3MM MA MB MC MG GM MG GA GB GC GM GM GM GM               .

Proposition 3 : FAUX : cherchons le plan passant par ABC :

0

2 3 0 3 0 3 3

2 5 0 3 5 0 4 8 0 2

a b d d a b d a b d a b

a c d a b c a b c a b c

b c d a b c b c b c

                                  

                 

.

Prenons par exemple c=1, on a b=2, a=–1, d=–1, soit le plan 2 1 0x y z     auquel D n’appartient

pas

Proposition 4 : VRAI : La distance de  au plan est : 2 3 2 3 0 3

5 4 4 1

d     

   

, soit le rayon de la

sphère.

5. Exercice 4

4 points

On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques mais l’un est bien équilibré et l’autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d’obtenir 6 lors

d’un lancer est égale à 1

3 .

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus.

a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ?

b. Quelle est son espérance ?

c. Calculer p(X = 2).

2. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables. On lance le dé choisi trois fois de suite.

On considère les évènements D et A suivants :

D « le dé choisi est le dé bien équilibré » ;

A : « obtenir exactement deux 6 ».

a. Calculer la probabilité des évènements suivants :

• « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ;

• « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».

(On pourra construire un arbre de probabilité).

b. En déduire que :   7

48 p A  .

c. Ayant choisi au hasard l’un des deux dés et l’ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d’avoir choisi le dé truqué ?

3. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé n fois de suite (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).

On note Bn l’évènement « obtenir au moins un 6 parmi ces n lancers successifs ».

a. Déterminer, en fonction de n, la probabilité pn de l’évènement Bn.

b. Calculer la limite de la suite (pn). Commenter ce résultat.

Correction

1. a. La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n = 3, p = 1/6.

b. Son espérance est np = 1/2.

c.     12

2

3 1 5 5 2 1 3

2 6 726 p X p p

         

  .

2. a. • « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » :

on a 1 chance sur 2 d’avoir le dé bien équilibré, puis 5/72 d’avoir 2 six :

      1 5 5

2 72 144 Dp A D p D p A      .

• « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 » :

même démarche sauf que dans la loi binomiale p'=1/3 :     12

2

3 1 2 2 ' 2 ' 1 ' 3

2 3 93 p X p p

         

  ,

soit       1 2 1

2 9 9D p A D p D p A      .

b.       5 1 5 16 21 7

144 9 144 144 48 p A p A D p A D

          .

c. La probabilité d’avoir choisi le dé truqué sachant qu’on a obtenu exactement deux 6 est

     

1 / 9 1 48 16

7 / 48 9 7 21 A

p A D p D

p A

      .

3. a. Considérons l’événement contraire nB : « n’obtenir aucun 6 parmi ces n lancers successifs » et

l’événement U : « ne pas obtenir de 6 ». On a aucun 6 pendant n lancers avec le 1er dé (probabilité à chaque lancer = 5/6), aucun 6 pendant n lancers avec le 2ème dé (probabilité à chaque lancer = 2/3) :

          1 5 1 2

[ ] [ ] 2 6 2 3

n n n n

n D D p B p D p U p D p U

            

    ,

soit   1 5 1 2

1 2 6 2 3

n n

np B      

            

qui tend vers 1 : on est sûr de tirer au moins un 6 en lançant

suffisamment longtemps… Quelle surprise !

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