Exercitations de mathématique 6, Exercices de Mathématiques Appliqués
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Eusebe_S21 May 2014

Exercitations de mathématique 6, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercitations de mathématique - Centres étrangers 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Restitution organisée de connaissances, Application.
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Baccalauréat

Terminale S juin 2009

Centres étrangers 1

1. Exercice 1

5 points

1. Restitution organisée de connaissances

Prérequis : On rappelle que deux événements A et B sont indépendants pour la probabilité p si et

seulement si :      p A B p A p B   .

Soient A et B deux événements associés à une expérience aléatoire.

a. Démontrer que      p B p B A p B A    . b. Démontrer que, si les événements A et B sont indépendants pour la probabilité p, alors les événements A et B le sont également.

2. Application

Chaque matin de classe Stéphane peut être victime de deux événements indépendants :

R : « II n'entend pas son réveil sonner » ;

S : « Son scooter, mal entretenu, tombe en panne ».

II a observé que chaque jour de classe, la probabilité de R est égale 0,1 et que celle de S est égale à 0,05. Lorsque qu'au moins l'un des deux événements se produit, Stéphane est en retard au lycée sinon il est à l'heure.

a. Calculer la probabilité qu'un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne.

b. Calculer la probabilité que Stéphane soit à l'heure au lycée un jour de classe donné.

c. Au cours d'une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu'il entende son réveil sonner un jour de classe donné n'influe pas sur le fait qu'il l'entende ou non les jours suivants.

Quelle est la probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours d'une semaine ? Arrondir le résultat à la quatrième décimale.

2. Exercice 2 (non spécialistes)

5 points

On se propose dans cet exercice d'étudier des propriétés d'un solide de l'espace.

L'espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k , orthonormal.

On considère les points A(3, 4, 0) ; B(0, 5, 0) et C(0, 0, 5). On note I le milieu du segment [AB].

1. Faire une figure où l'on placera les points A, B, C, I dans le repère ( ; , , )O i j k .

2. Démontrer que les triangles OAC et OBC sont rectangles et isocèles.

Quelle est la nature du triangle ABC ?

3. Soit H le point de coordonnées 15 45 45

, , 19 19 19

     

.

a. Démontrer que les points H, C, I sont alignés.

b. Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).

c. En déduire une équation cartésienne du plan ABC.

4. Calculs d'aire et de volume.

a. Calculer l’aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OABC.

b. Déterminer la distance du point O au plan (ABC).

c. Calculer l'aire du triangle ABC.

3. Exercice 2 (spécialistes)

5 points

1. On note (E)l'équation 3x + 2y = 29 où x et y sont deux nombres entiers relatifs.

a. Déterminer un couple d'entiers solution de l'équation (E).

b. Déterminer tous les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).

c. Préciser les solutions de l'équation (E)pour lesquelles on a à la fois x > 0 et y > 0.

2. Intersections d'un plan avec les plans de coordonnées.

L'espace est muni du repère orthonormal ( ; , , )O i j k et on désigne par (P) le plan d'équation 3x+ 2y =

29.

a. Démontrer que (P) est parallèle à l'axe (Oz)de vecteur directeur k .

b. Déterminer les coordonnées des points d'intersection du plan (P)avec les axes (Ox)et (Oy)de

vecteurs directeurs respectifs i et j .

c. Faire une figure et tracer les droites d'intersection du plan (P)avec les trois plans de coordonnées.

d. Sur la figure précédente, placer sur la droite d'intersection des plans (P)et (xOy),les points dont les coordonnées sont à la fois entières et positives.

3. Étude d'une surface.

(S)est la surface d'équation 4z = xy dans le repère ( ; , , )O i j k .

Les figures suivantes représentent les intersections de y avec certains plans de l'espace.

figure n° 1 figure n° 2 figure n° 3 figure n° 4

a. S1 désigne la section de la surface (S)par le plan (xOy). Une des figures données représente S1, laquelle ?

b. S2 désigne la section de la surface (S)par le plan (R) d’équation 1z . Une des figures données représente S2, laquelle ?

c. S3 désigne la section de la surface (S)par le plan d’équation 8y . Une des figures données représente

S3, laquelle ?

d. S4 désigne la section de la surface (S)par le plan (P) d'équation 3x+ 2y = 29 de la question 2.

Déterminer les coordonnées des points communs à S4 et (P)dont l'abscisse x et l'ordonnée y sont des entiers naturels vérifiant l'équation 3x+ 2y = 29.

4. Exercice 3

4 points

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, on pourra donner un contre-exemple.

1. Pour tout complexe z,      22Re Rez z .

2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v .

Pour tout nombre complexe z non nul, les points M d'afîïxe z, N d'affixe z et P d'affixe 2z

z

appartiennent à un même cercle de centre O.

3. Pour tout nombre complexe z, si 1 1iz iz   alors la partie imaginaire de z est nulle.

4. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v . Quels que soient les nombres

complexes z et znon nuls, d'images respectives M et M' dans le plan complexe, si z et z’ vérifient l'égalité

' 'z z z z   , alors les droites (OM) et (OM’) sont perpendiculaires.

5. Exercice 4

6 points

Soit n un entier naturel.

On note fn la fonction définie sur l'ensemble  des nombres réels par :   1

nx

n x

e f x

e

  

.

On note Cn la courbe représentative de fn dans un repère orthogonal ( ; , )O i j .

Les courbes C0 , C1 , C2et C3 sont représentées ci-dessous :

Partie A : Quelques propriétés des fonctions fn et des courbes Cn

1. Démontrer que pour tout entier naturel n les courbes Cn ont un point A en commun. On précisera ses coordonnées.

2. Étude de la fonction f0

a. Étudier le sens de variation de f0.

b. Préciser les limites de la fonction f0 en  et  . Interpréter graphiquement ces limites.

c. Dresser le tableau de variation de la fonction f0 sur .

3. Étude de la fonction f1

a. Démontrer que    0 1f x f x  pour tout nombre réel x.

b. En déduire les limites de la fonction f1 en  et  , ainsi que son sens de variation.

c. Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes C0 et C1.

4. Étude de la fonction fn pour n > 2

a. Vérifier que pour tout entier naturel n > 2et pour tout nombre réel x , on a :

   1

1 n n xnx

f x e e

 

 .

b. Étudier les limites de la fonction fn en  et en  .

c. Calculer la dérivée  nf xet dresser le tableau de variations de la fonction fn sur .

Partie B : Étude d'une suite liée aux fonctions fn

On pose, pour tout entier naturel n :   1

0 n nu f x dx  .

1. Calculer u1 puis montrer que 0 1 1u u  . En déduire u0.

2. Démontrer que, pour tout entier n : 1

0

0 nxnu e dx    .

3. Calculer l'intégrale 1

0

nxe dx . En déduire que la suite  nu est convergente et préciser sa limite.

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