Exercitations de mathématique 7, Exercices de Mathématiques Appliqués
Eusebe_S
Eusebe_S21 May 2014

Exercitations de mathématique 7, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercitations de mathématique - France. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exercice 1, Exercice 2, Exercice 3, Exercice 4.
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Baccalauréat

Terminale S juin 2009

France (annulé)

1. Exercice 1

4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la répons exacte, aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On considère les points A(1 ; 2 ; –1), B(1 ; 1 ; 0), C(9 ; –1 ; –2), S(1 ; 1 ; 1).

On admet qu’une équation du plan (ABC) est x + 2y + 2z – 3 = 0.

1. Une représentation paramétrique de la droite (AB) est

a.

1

2 4 ,

1 3

x y

y t t

z t

     

   

b.

1

1 ,

3

x

y t t

z t

     

  

c.

1

1 2 ,

2

x

y t t

z t

    

 

2. Les coordonnées du point S’ symétrique du point S par rapport au plan (ABC) sont :

a. 10 11 10

; ; 9 9 9

     

b. 5 1 1

; ; 9 9 9

     

c. 7 5 5

; ; 9 9 9

     

3. Le triangle ABC est :

a. isocèle b. rectangle en A c. rectangle en B

4. L’ensemble des points M de l’espace vérifiant 9MA MB MC   est :

a. un plan passant par S b. une sphère passant par S c. une sphère de centre S

2. Exercice 2

5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

On désigne par A, B et J les points d’affixes respectives – i, 1 – i et i.

On désigne par  la médiatrice du segment [AB] et par C le cercle de centre O et de rayon 1.

À tout point M d’affixe z distincte de 1 – i, on associe le point M’ d’affixe z’ telle que  

' 1

i z i z

z i

   

.

Le point M′ est appelé image du point M.

1. Calculer les affixes des points A′ et O′.

2. Sur une feuille de papier millimétré, faire une figure qui sera complétée tout au long de l’exercice (unité graphique 4 cm).

3. Montrer que l’équation  

1

i z i z

z i

   

admet deux solutions que l’on précisera.

On note E et F les points qui ont pour affixes respectives ces solutions.

Justifier que les points E et F appartiennent au cercle C et les placer sur la figure.

4. Soit M un point distinct du point B et M’ son image.

a. Exprimer la distance OM’ en fonction des distances AM et BM.

b. Montrer que si le point M décrit la droite  , alors le point M’ décrit un cercle que l’on précisera.

5. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Montrer que si le point M décrit la droite (AB) privée du point B, alors le point M’ appartient à une droite que l’on précisera.

3. Exercice 3

6 points

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ;  [ par   1 xf x xe  . Sa courbe représentative C dans le

repère orthonormal ( ; , )O i j et la droite d d’équation y = 1 sont tracées ci dessous.

Partie A

1. Justifier les propriétés suivantes constatées sur la représentation graphique.

a. La droite d est asymptote à la courbe C en  .

b. La fonction f est décroissante sur l’intervalle [1 ;  [.

2. Soit t un nombre réel positif. On considère l’intégrale   0

t

f x dx .

a. Interpréter graphiquement cette intégrale.

b. Montrer que   0

1 t

t tf x dx t te e     .

Partie B

On note I le point de coordonnées (1 ; 0) et J le point de coordonnées (0 ; 1).

Pour tout nombre réel t de l’intervalle [0 ; 1], Mt désigne le point de la courbe C d’abscisse t et Nt le point de coordonnées (t ; 0).

On appelle Dt, le domaine du plan délimité par la droite (IMt), l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la courbe C.

Ce domaine est représenté par la zone grisée du graphique ci-joint. Soit A(t) la mesure de son aire exprimée en unité d’aire.

1. Interpréter graphiquement A(0) et donner sa valeur exacte.

2. Interpréter graphiquement A(1) et donner sa valeur exacte.

3. Calculer l’aire du triangle t tM N I .

4. En déduire que pour tout nombre réel t apparte-nant à l’intervalle [0 ; 1],

  23

1 2 2 2 2

tt t tA t e  

        

.

5. Dans cette question toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Existe-t-il un unique nombre réel  de l’intervalle [0 ; 1] tel que     1

1 2

A A  ? Justifier la réponse.

4. Exercice 4 (non spécialistes)

5 points

1. Soit (un) la suite définie par u0 = 0, u1 = 3 et pour tout nombre entier naturel n, 2 1 3 1

2 2 n n nu u u   .

a. Calculer u2, u3 et u4.

b. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, 1 1

3 2

n nu u   .

c. Ci dessous sont tracées, dans un repère orthonormal les droites d’équation y = x et 1

3 2

y x  .

À partir de u0, en utilisant ces deux droites, on a placé u1 sur l’axe des abscisses. De la même manière placer les termes u2, u3 et u4.

Que peut-on conjecturer sur les variations et la convergence de cette suite ?

2. Soit (vn) la suite définie, pour tout nombre entier naturel n, par 6n nv u  .

a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

b. Exprimer vn puis un en fonction de n.

c. En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.

3. Soit (wn) la suite de premier terme w0 et telle que, pour tout nombre entier naturel n, 1 1

3 2

n nw w   .

On suppose que w0 est strictement supérieur à 6. Les suites (un) et (wn) sont-elles adjacentes ? Justifier.

5. Exercice 4 (spécialistes)

5 points

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