Exercitations de mathématique 8, Exercices de Mathématiques Appliqués
Eusebe_S
Eusebe_S21 May 2014

Exercitations de mathématique 8, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercitations de mathématique - France. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Les exercices, Le tableau, Correction.
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Baccalauréat

Terminale S juin 2009

France

1. Exercice 1

4 points

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. On considère la suite (un) définie par : 0 1u  et, pour tout nombre entier naturel n, 1 1

4 3

n nu u   .

On pose, pour tout nombre entier naturel n, 6n nv u  .

a. Pour tout nombre entier naturel n, calculer vn+1 en fonction de vn.Quelle est la nature de la suite (vn) ?

b. Démontrer que pour tout nombre entier naturel n, 1

5 6 3

n

nu  

     

.

c. Étudier la convergence de la suite (un).

2. On considère la suite (wn) dont les termes vérifient, pour tout nombre entier 1n  :

  11 1n nnw n w    et w0 = 1.

Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite :

w0 w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8 w9

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

a. Détailler le calcul permettant d’obtenir w10.

b. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Donner la nature de la suite (wn). Calculer w2009.

Correction

1. a.  1 1 1 1 1

6 4 6 6 2 3 3 3

n n n n nv u u v v          . C’est une suite géométrique de raison 1/3, de

premier terme 0 0 6 5v u    .

b. On a donc 1

5 3

n

nv  

     

, soit 1

6 5 6 3

n

n nu v  

       

.

c. un tend vers 6 quand n tend vers l’infini puisque 1

1 lim 0 3

n n

v 

   .

2. a. Remplaçons n par 10 : 10 9 1010 11 1 210 21w w w     .

b. Il semble assez évident que 2 1nw n  : par récurrence c’est vrai jusqu’à 10n  ; supposons que c’est

vrai pour 1n :  1 2 1 1 2 1nw n n      , alors en remplaçant :

   2

2 2 21 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1n n n n

nw n n n n n n n w n n

                .

On a finalement 2009 2 2009 1 5019w     .

2. Exercice 2

6 points

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ;  [ par    ln 1 xf x xe  .

On note f  la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0 ;  [.

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. La courbe C est représentée ci-dessous.

PARTIE I

1. Justifier que  lim 0 x

f x 

 .

2. Justifier que pour tout nombre réel positif x, le signe de  f x est celui de 1 – x.

3. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ;  [.

PARTIE II

Soit  un nombre réel strictement positif. On pose     0

A f x dx

   . On se propose de majorer

 A  à l’aide de deux méthodes différentes.

1. Première méthode

a. Représenter, sur la figure la partie du plan dont l’aire en unité d’aire, est égale à  A  .

b. Justifier que pour tout nombre réel strictement positif,    1A f   .

2. Deuxième méthode

a. Calculer à l’aide d’une intégration par parties 0

xxe dx

en fonction de  .

b. On admet que pour tout nombre réel positif u,  ln 1 u u  .

Démontrer alors que, pour tout nombre réel  strictement positif,   1A e e       .

3. Application numérique : avec chacune des deux méthodes trouver un majorant de A(5) arrondi au centième. Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où  = 5 ?

Correction

PARTIE I

1. Les croissances comparées donnent 1

lim lim 0x xx x

x xe

e

    

 donc  lim ln 1 0

x f x

   .

2.        1 ' 1 1

' 1 1 1

x x x x

x x x

xe e x e x e f x

xe xe xe

   

  

       

   .

L’exponentielle est toujours > 0, x est positif, le seul terme qui peut changer de signe est 1 x .

3. Lorsque 1x  , 1 0x  et donc f est croissante ; lorsque 1x  , f  est négative et f est décroissante.

PARTIE II

1. a. On colorie l’aire comprise entre C, l’axe (Ox), x=0 et la droite x  (f est positive donc pas de problèmes de signes).

b. Comme le maximum de f est en 1, d’ordonnée  1f , l’aire en question est inférieure à l’aire d’un

rectangle de longueur  et de largeur    1f f  , soit      1A f f       .

2. a. 0 00 0

1x x x xxe dx xe e dx e e e e   

                             .

b.    ln 1 ln 1 x xu u xe xe      car 0xxe  . On intègre, ce qui donne   1A e e       .

3. Pour le premier cas :  5 1 1,57f  , pour le deuxième : 5 55 1 0,96e e     . Le plus petit des deux est forcément le meilleur majorant… puisque…

3. Exercice 3

5 points

I. Cette question est une restitution organisée de connaissances.

On rappelle que si n et p sont deux nombres entiers naturels tels que p n alors  

!

! !

n n

p p n p

   

  .

Démontrer que pour tout nombre entier naturel n et pour tout nombre entier naturel p tels que

1 p n  on a : 1 1

1

n n n

p p p

             

      .

II. Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher : 7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3. On tire simultanément deux jetons de ce sac.

1. a. On note A l’évènement « obtenir deux jetons blancs ». Démontrer que la probabilité de l’évènement

A est égale à 7

15 .

b. On note B l’évènement « obtenir deux jetons portant des numéros impairs ». Calculer la probabilité de B.

c. Les évènements A et B sont-ils indépendants ?

2. Soit Xla variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Calculer l’espérance mathématique de X.

Correction

I. N’étant pas fana des factorielles, on utilise :

   

 

   

 

   

 

1 ... 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1 11 1

11 ...1 1 ...1 1 ...1

n n n p n n p n n pn n n

p p pp p p p p

                           

        d’où

   

 

   

 

   

 

1 ... 11 ... 1 1 ...1 1

1 1 ...1 1 ...1 1 ...1

n n p p n pp n n p n n pn n n

p p pp p p p p p

                          

         .

II. Il y a 10 10 9

45 2 2

     

  tirages possibles ; il y a 4 impairs blancs et 2 impairs noirs.

1. a.  

7 7 6 2 21 72A

45 45 45 15 p

           .

b.  

6

2 15 1 B

45 45 3 p

         .

c. A B = tirer deux jetons blancs impairs :  

4

2 6 2 A B

45 45 15 p

     

    ;     7 1 7

A B 15 3 45

p p    ,

les événements A et B ne sont pas indépendants.

2. a.     7

X 2 A 15

p p   ;    

3

2 1 X 0 2 noirs

45 15 p p

     

    ,   1 7 7

X 1 1 15 15 15

p      .

b.   1 7 7 7

X 0. 1. 2. 1,4 15 15 15 5

E      .

4. Exercice 4 (non spécialistes)

5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique : 2 cm).

On associe à tout point M d’affixe z non nulle, le point M’ milieu du segment [MM1] où M1 est le point

d’affixe 1

z . Le point M’ est appelé l’image du point M.

1. a. Montrer que les distances OM et OM1 vérifient la relation 1 1OM OM  et que les angles

 1;u OM et  ;u OM vérifient l’égalité des mesures suivante    1; ;u OM u OM  à 2 près. b. Le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2. Construire le point A’ image du point A. (On laissera apparents les traits de construction).

2. a. Justifier que pour tout nombre complexe z non nul, le point M’ a pour affixe 1 1

' 2

z z z

      

.

b. Soient B et C les points d’affixes respectives 2i et –2i. Calculer les affixes des points B’ et C’ images respectives des points B et C.

c. Placer les points B, C, B’ et C’ sur la figure.

3. Déterminer l’ensemble des points M tels que M’ =M.

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Montrer que si le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image M’ appartient au segment [KL] où K et L sont les points d’affixes respectives –1 et 1.

Correction

1. a. 1 1

1 z

OM OM z z z

     ;      1 1

; arg arg ;u OM z u OM z

       

  à 2 près.

b. Le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2. B est le symétrique de A par rapport à

 ;O u , A1 est sur la droite (OB) à la distance 1/2 de O, A’ est le milieu de [AA1].

2. a. Si M1 a pour affixe 1

z , le milieu M’ de [MM1]

a pour affixe  1 1 1 1

' 2 2

M Mz z z z z

      

  .

b. ' 1 1 1 1 3

2 2 2 2 2 2 4

Bz i i i i i

               

,

'

1 1 1 1 3 2 2

2 2 2 2 4 Cz i i i i

i

              

    .

c. Bof…

3. 2 1 1

' 2 1z z z z z z z z

        d’où les

solutions 1z   .

A'

A1

B

A

u

v

y

x

O

4. Si le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son affixe est ie et son image M’ a

pour affixe  1 1 1' cos 2 2

i i i

i z e e e

e

  

 

         

qui appartient bien au segment [KL]=[–1 ; +1].

5. Exercice 4 (spécialistes)

5 points

Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.

1. a. Déterminer l’ensemble des couples (x, y) de nombres entiers relatifs, solution de l’équation

(E) : 8x – 5y = 3.

b. Soit m un nombre entier relatif tel qu’il existe un couple (p, q) de nombres entiers vérifiant m = 8p +1 et m = 5q +4. Montrer que le couple (p, q) est solution de l’équation (E) et en déduire que m 9 (modulo 40).

c. Déterminer le plus petit de ces nombres entiers m supérieurs à 2 000.

2. Soit n un nombre entier naturel.

a. Démontrer que pour tout nombre entier naturel k on a : 23k  1(modulo 7).

Quel est le reste dans la division euclidienne de 22009 par 7 ?

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soient a et b deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec 0a  .

On considère le nombre 310N a b   . On rappelle qu’en base 10 ce nombre s’écrit sous la forme

00N a b .

On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels N ceux qui sont divisibles par 7.

a. Vérifier que 103  –1(modulo 7).

b. En déduire tous les nombres entiers N cherchés.

Correction

1. a. Solution évidente : (1, 1), puis en soustrayant :     1 5

8 1 5 1 0 , 1 8

x k x y k

y k

       

  .

b. On calcule 1

8

m p

  et

1

5

m q

  puis on remplace :

1 4 8 5 1 4 3

8 5

m m m m

             

    . Ok.

Comme p et q sont solutions de (E), ils sont de la forme du 1. a. :  8 1 8 1 5 1 9 40m p k k       et

pareil avec q.

c. min2000 9 40 2000 49,... 50 2009m k k k m          … ah, ah, ah…

2. a.      3 32 2 8 1 7 1 7 k

k k k    .  2009 2007 22 2 2 4 7   : le reste est 4.

3. a.        310 3 7 10 27 7 6 7 1 7      .

b.      310 1 7 7N a b a b b a         , il faut donc que  0 7b a  , soit b a ou 7b a  ou 7a b  :

(a, b)=(1, 1) ; (1, 8) ; (2, 2) ; (2 , 9) ; (3, 3) ; (4, 4) ; (5, 5) ; (6, 6) ; (7, 7) ; (7, 0) ; (8, 1) ; (8, 8) ; (9, 2) ; (9, 9).

J’espère que je n’en ai pas oublié…

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