Exercitations de mathématique 9, Exercices de Mathématiques Appliqués
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Eusebe_S21 May 2014

Exercitations de mathématique 9, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercitations de mathématique - La Réunion. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la rotation de centre, les représentations graphiques des fonctions, la valeur exacte de l’aire A.
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Baccalauréat

Terminale S juin 2009

La Réunion

1. Exercice 1

4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

1. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant : 1 2 iz i e   ,  étant un nombre réel.

a. (E) est une droite passant par le point d’affixe 2 – 2i.

b. (E) est le cercle de centre d’affixe –1 + 2i et de rayon 1.

c. (E) est le cercle de centre d’affixe 1 – 2i et de rayon 1.

d. (E) est le cercle de centre d’affixe 1 – 2i et de rayon 5 .

2. Soit f l’application du plan qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que

' 2z iz i   .

a. f est une homothétie.

b. Le point d’affixe –1 – 2i est un antécédent du point d’affixe i.

c. f est la rotation de centre le point d’affixe 1 + i et d’angle 2

 .

d. f est la rotation de centre le point d’affixe –1 – i et d’angle 2

 .

3. Soit (F) l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant 1 1 2z i z i     .

Soient les points A, B et C d’ affixes respectives 1 – i, –1 + 2i et –1 – 2i.

a. C est un point de (F).

b. (F) est la médiatrice du segment [AB].

c. (F) est la médiatrice du segment [AC].

d. (F) est le cercle de diamètre [AB].

4. On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation 2

7z z i   . Cette équation

admet :

a. Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1.

b. Une solution réelle.

c. Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1.

d. Une solution qui a pour partie imaginaire 2.

2. Exercice 2

6 points

Soient f et g les fonctions définies sur l’intervalle [0 ;  [ par   xf x xe et   2 xg x x e .

On note Cf et Cg les représentations graphiques des fonctions f et g dans le plan muni d’un repère

( ; , )O i j .

Partie A

La courbe représentative Cf de la fonction f est donnée ci-dessous.

1. D’après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction f et sa limite en  ?

2. Valider ces conjectures à l’aide d’une démonstration.

3. Tracer sur le graphique la courbe Cg représentative de la fonction g.

4. Quelle semble être la position relative de la courbe Cf par rapport à la courbe Cg ?

Valider cette conjecture à l’aide d’une démonstration.

Partie B

L’objectif de cette partie est de calculer, en unités d’aire, la mesure de l’aire A de la partie du plan comprise entre les courbes Cf et Cg et les droites d’équations x = 0 et x = 1.

1. Hachurer sur la figure cette partie du plan.

2. Soit   1

0

I f x dx  . Démontrer que 2

1I e

  .

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit H la fonction définie sur l’intervalle [0 ;  [ par    2 2 xH x x x e   . a. Calculer la dérivée H’ de la fonction H.

b. En déduire une primitive sur l’intervalle [0 ;  [ de la fonction g.

4. Déterminer la valeur exacte de l’aire A.

3. Exercice 3

5 points

Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défaut a et le défaut b. Un sac est dit défectueux s’il présente aumoins l’un des deux défauts.

1. Dans cette question les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes.

On prélève un sac au hasard dans la production d’une journée.

On note A l’ évènement « le sac présente le défaut a » et B l’évènement « le sac présente le défaut b ». Les probabilités des évènements A et B sont respectivement p(A) = 0,02 et p(B) = 0,01 ; on suppose que ces deux évènements sont indépendants.

a. Calculer la probabilité de l’évènement C : « le sac prélevé présente le défaut a et le défaut b ».

b. Calculer la probabilité de l’évènement D : « le sac est défectueux ».

c. Calculer la probabilité de l’évènement E : « le sac ne présente aucun défaut ».

d. Sachant que le sac présente le défaut a, quelle est la probabilité qu’il présente aussi le défaut b ?

2. On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu’un sac soit défectueux est égale à 0,03.

On prélève au hasard un échantillon de 100 sacs dans la production d’une journée. La production est suffisamment importante pour que l’on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 sacs.

On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 100 sacs, associe le nombre de sacs défectueux.

a. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b. Quelle est la probabilité de l’évènement « au moins un sac est défectueux » ? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat.

c. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X. Interpréter ce résultat dans le cadre de l’énoncé.

4. Exercice 4 (non spécialistes)

5 points

Soient A(1 ; 2 ; 0), B(2 ; 2 ; 0), C(1 ; 3 ; 0) et D(1 ; 2 ; 1) quatre points de l’espace muni d’un repère

orthonormal ( ; , , )O i j k .

(P) désigne le plan orthogonal à (BC) contenant A ; (Q) désigne le plan orthogonal à (DC) contenant A ; (R) désigne le plan orthogonal à (BD) contenant A.

1. Montrer que le plan (P) a pour équation cartésienne 1 0x y   .

On admet que le plan (Q) a pour équation cartésienne 2 0y z    et que le plan (R) a pour équation

cartésienne 1 0x z    .

2. a. Résoudre le système :

1 0

2 0

1 0

x y

y z

x z

            

.

b. En déduire que l’intersection des trois plans (P), (Q) et (R) est une droite (d) passant par le point E(2 ; 3 ; 1).

c. Vérifier que la droite (d) est orthogonale au plan (BCD). En déduire une équation cartésienne du plan (BCD).

3. Déterminer une équation cartésienne pour chacun des plans (ABC), (ABD) et (ACD).

On admet que ces plans sont respectivement parallèles aux plans de repères ( ; , )O i j , ( ; , )O i k et

( ; , )O j k .

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

a. Montrer que tout point M de la droite (d) est équidistant des plans (ABC), (ABD) et (ACD).

b. Existe-t-il des points de l’espace équidistants des plans (ABC), (ABD), (ACD) et (BCD) ?

5. Exercice 4 (spécialistes)

5 points

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

1. Soient F le point de coordonnées 1

0 ; 0 ; 4

     

et (P) le plan d’équation 1

4 z   . On note d(M, P) la

distance d’un point M au plan (P).

Montrer que l’ensemble (S) des points M de coordonnées (x ; y ; z) qui vérifient d(M, P) = MF a pour

équation 2 2x y z  .

2. a. Quelle est la nature de l’intersection de l’ensemble (S) avec le plan d’équation z = 2 ?

b. Quelle est la nature de l’intersection de l’ensemble (S) avec le plan d’équation x = 0 ?

Représenter cette intersection dans le repère ( ; , )O j k .

3. Dans cette question, x et y désignent des nombres entiers naturels.

a. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de 2x par 7 ?

b. Démontrer que 7 divise 2 2x y si et seulement si 7 divise x et 7 divise y.

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Existe-t-il des points qui appartiennent à l’intersection de l’ensemble (S) et du plan d’équation z = 98 et dont toutes les coordonnées sont des entiers naturels ? Si oui les déterminer.

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