Exercitations de physique mathématiques 3 , Exercices de Physique Mathématiques
Eleonore_sa
Eleonore_sa13 May 2014

Exercitations de physique mathématiques 3 , Exercices de Physique Mathématiques

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Exercitations de physique mathématiques sur le thermomètre de galilée. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Principe de fonctionnement, Étude du mouvement d'une boule.
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Exo 2 Thermomètre de Galilée 5 points

Amérique du Sud 2006

EXERCICE II. THERMOMÈTRE DE GALILÉE (5 points) - Correction

1. Principe de fonctionnement

1.1 . La boule 1 est immobile, en équilibre dans l'huile. Elle est soumise à deux forces :

- le poids P , vertical vers le bas

- la poussée d'Archimède  ,verticale vers le haut.

1.2 Les normes de deux forces s'écrivent:

Poids : P = m.g = .Vb.g

La valeur de la poussée d'Archimède est égale au poids du fluide déplacé par la boule 1.

Poussée d'Archimède :  =  (T).Vb.g

1.3 Dans le référentiel éprouvette, la boule 1 est immobile, d'après le principe d'inertie (1ère loi de

Newton) les deux forces se compensent : elles ont donc des valeurs identiques.

P = 

.Vb.g =  (T).Vb.g

donc :  = (T)

1.4. "Les boules ont chacune le même volume Vb mais possèdent des masses volumiques différentes"

Pour les boules dont la masse volumique  est supérieure à la masse volumique  (T) de l'huile, la force

poids prédomine sur la poussée d'Archimède. Ces boules restent en bas de l'éprouvette.

Pour les boules dont  <  , la poussée d'Archimède prédomine sur la force poids. Ces boules restent

dans le haut de l'éprouvette.

1.5. "Le liquide contenu dans la colonne a une masse volumique  (T) qui décroît fortement lorsque la

température augmente"… "On peut supposer que la masse volumique et le volume de cette boule

sont quasiment indépendants de la température".

Ainsi, lorsque la température du liquide s'élève, la masse volumique  (T) du liquide diminue et comme

 est constant on a :  >  (T). La boule 1 se déplace vers le bas de l'éprouvette.

2. Étude du mouvement d'une boule. 2.1 Au cours du mouvement la boule est soumise à trois forces :

- le poids P , vertical vers le bas: P = m.g. k

- la poussée d'Archimède  , verticale vers le haut :  = –  (T).Vb.g. k

- la force de frottement f , opposée au vecteur vitesse

donc verticale vers le haut : f = – k.v. k

Comme la boule descend, la force poids prédomine. La flèche représentant le

vecteur poids est plus longue que la somme des longueurs des deux flèches

représentants les forces f et .

P

Boule 1

Équilibre de la boule 1

P

boule en mouvement

vers le bas

f

z

k O

G

2.2. La deuxième loi de Newton appliquée au système "boule" dans le référentiel éprouvette, référentiel terrestre supposé galiléen donne :

P +  + f = m. Ga (1)

On pose: v G = vz. k = v. k

Alors : Ga = Gdv

dt =

dv .

dt k

En projetant la relation (1) selon l'axe (Oz) il vient :

m.g –  (T).Vb.g – k.v = m. dv

dt

g – b (T).V .g

m

 –

k

m .v =

dv

dt

soit: dv

dt = b

(T).V g. 1

m

     

– k

.v m

L'équation précédente est bien de la forme: dv

dt = A – B.v

Par identification on a : A = b (T).V

g. 1 m

     

et B = k

m

Remarque : Les données en fin d'énoncé nous permettent de calculer A et B et de comparer avec les

valeurs données en 2.3. Ainsi on valide les expressions littérales ci-dessus.

Pour A = b (T).V

g. 1 m

     

, on trouve à 20°C :A =  

3 2

3

4 848 1,50 10

39,80 1 12,0 10

     

    

 

= 9,510–3

Pour B = k

m , on trouve B =

3

3

8,8 10

12,0 10

 = 7,310–1

2.3. Lorsque la vitesse limite est atteinte v = vlim = Cte donc dv

dt = 0, soit 0 = A – B.vlim

donc: A = B.vlim soit vlim = A

B

Avec: A = 9,5  10 –3 m.s-2 et B = 7,3  10 –1 s –1:

vlim = 3

1

9,5 10

7,3 10

= 1,310-2 m.s-1.

Remarques : - les unités de A et B permettent de vérifier que vlim s'exprime bien en m.s-1.

- le graphe montre que la vitesse v(t) tend vers 13 mm.s-1 = 1,310–2 m.s-1.

2.4D'après l'énoncé v(tn) = v(tn-1) + v(tn-1) avec v(tn-1) = a(tn-1) . t

v(t0) ?

v(t0) = a(t0).t

a(t0) = t0

dv

dt

     

= A – B.v(t0)

or v(t0) = 0 donc a(t0) = A

v(t0) = A.t

v(t0) = 9,510 –3  0,10 = 9,5 10–4 m.s-1

v(t1)?

v(t1) = v(t0) + v(t0)

v(t1) = 0 + 9,510–4 m.s-1

v(t2) ?

v(t2) = v(t1) + v(t1)

v(t2) = 9,510–4 + 8,810–4= 1,810–3 m.s-1

v(t2) ?

v(t2) = a(t2) . t

v(t2) = (A – B. v(t2)).t

v(t2) = (9,510 –3 – 7,3.10 –1  1,810 –3)0,10 = 8,210 –4 m.s-1

Dates t en sVitesse v(tn) en m.s-1v(tn) en m.s-1

t0= 009,5 10 –4 t1 = 0,109,5 10 –48,8 10 –4

t2 = 0,201,8 10 –3 8,2 10 –4

Remarque: on peut vérifier les valeurs des vitesses sur le graphe. v(t1) = 0,95 mm.s-1 et v(t2) = 1,8 mm.s-1

2.5. En régime transitoire, la valeur de la vitesse augmente (entre t = 0,0 s et t  7,0 s), puis en régime permanent (pour t > 7,0 s) la valeur de la vitesse est constante et égale à la vitesse limite vlim = 13 mm.s-1.

2.6. Temps caractéristique  : On trace la tangente, à l'origine, à la courbe v = f(t).

Elle coupe l'asymptote horizontale v = vlim = 13 mm.s-1 en un point dont l'abscisse est égale au temps

caractéristique  :

13,6 cm  10 s

on mesure 1,6 cm pour  donc:  = (1,6  10 ) / 13, 6 = 1,2 s.

2.7. La valeur du pas utilisé t = 0,10 s est faible face au temps caractéristique . Ainsi, on dispose d'un nombre de points suffisant pour tracer la courbe v = f(t), particulièrement lors du régime transitoire

lorsque v(t) varie le plus. On pourrait choisir un pas plus faible, mais le nombre de calculs à effectuer

serait trop important.

Régime transitoire Régime permanent

vlim

1,6 cm

13,6 cm

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