Exercitations de physique mathématiques 5, Exercices de Physique Mathématiques
Eleonore_sa
Eleonore_sa13 May 2014

Exercitations de physique mathématiques 5, Exercices de Physique Mathématiques

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Exercitations de physique mathématiques sur la science et le sport. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Saut du plongeur, Mouvement dans l’eau.
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Exercice I. Science et sport (5,5pts)

EXERCICE II. SCIENCE ET SPORT (5,5 Points) Nouvelle Calédonie 03/2008 session rattrapage bac 2007

Correction 1. Saut du plongeur 1.1. Epp, max = m.g.yS

soit yS = pp,maxE

m.g

Graphiquement, pour t = tS = 400 ms , Epp, max = 3,45 kJ = 3,45  103 J

alors yS = 

,

, ,

33 45 10

70 0 9 80 = 5,03 m.

1.2.1. Énergie mécanique du système {plongeur en interaction avec la Terre} :

Em = EC + EPP = ½.m.v² + m.g.y 1.2.2. L’action de l’air sur le plongeur est négligée donc l’énergie mécanique se conserve au cours du mouvement, soit Em = Cte. 1.2.3. Entre les dates t0 = 0 et t1, la conservation de l’énergie mécanique impose : Em(t0) = Em(t1) donc EC(t0) + EPP(t0) = EC(t1) + EPP(t1) EC(t1) = EC(t0) + EPP(t0) – EPP(t1) Ec(t1) = ½.m.v0² + m.g.y0 – m.g.y1 Ec(t1) = ½.m.v0² + m.g.(y0 – y1)

Ec(t1) = ½ 70,0  (4,0)² + 70,0  9,80  (4,0 – 1,0) = 2,6  103 J = 2,6 kJ.

1.2.4. Ec(t1) = ½.m.v1² donc v1 = c 12E(t )

m (en conservant la valeur positive pour v1).

v1=  32 2,6.10

70,0 = 8,6 m.s-1.

0,5

0,0

1,0

2,0

3,0

2,5

1,5

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 t (ms)

3,5

Epp (kJ) Epp,max = 3,45 kJ

tS = 400 ms

2. Mouvement dans l’eau 2.1. Lorsque le plongeur amorce sa remontée à la date t = 1,0 s, son centre d’inertie est situé à 2,0 m sous la surface de l’eau (y= – 2,0 m) et ses mains sont situées à 2,0 + 1,0 = 3,0 m sous la surface de l’eau. La profondeur du bassin étant de 5,0 m, les mains du plongeur ne touchent pas le fond lorsqu’il amorce sa remontée. 2.2.1. Trois forces s’exercent sur le plongeur :

- le poids P m.g = – m.g. j avec g = – g. j

- la poussée d’Archimède :   A .V.g = .V.g. j

- la force de frottement de l’eau : ²yf k.v². j k.v . j 

opposée au sens du mouvement du plongeur. 2.2.2. La deuxième loi de Newton appliquée au système {plongeur} dans le référentiel terrestre galiléen donne :

P + A + f = m.a

en projection selon l’axe vertical Oy orienté vers le haut :

– m.g + .V.g + k.vy² = m.ay

or ay = ydv

dt donc en reportant et en divisant par m:

– g + .V .g

m + 2y k .v m

= ydv

dt

finalement :  

      

y y

dv k .V .v g

dt m m 2 1 0

2.2.3. En régime permanent : vy = Cte donc ydv

dt = 0 alors

      

  y

k .V v g m m

2 1 0

2 1  

    

y

k V v g m m

vy = –    

 

m.g .V . 1

k m (en gardant ici la valeur négative compte tenu du sens choisi pour l’axe Oy)

mais avec vP = 2 yv il vient finalement : vP =

   

 

m.g .V . 1

k m

2.2.4. vP =     

    

3 270,0 9,80 1,00 10 6,50 10 1

150 70,0 = 0,57 m.s-1.

A f

g

j

y

O

P

fond du bassin

Pour t = 1,0 s y = – 2,0 m

y

j O

yv v j

2.2.5.

 Sachant que vy = , le coefficient directeur de la courbe y(t) est égal à vy. Graphiquement, on constate que pour t > 3,0 s, le graphe y(t) est rectiligne donc vy est constante (régime permanent).

 Le centre d’inertie est à 1,0 m des mains tendues du plongeur et le bassin est à 5,0 m de profondeur. Donc lorsque y = – 5,0 + 1,0 = – 4,0 m, le plongeur touche le fond du bassin. Or pour y = – 4,0 m, on a t = 3,6 s > 3,0 s : ainsi le régime permanent est déjà atteint avant que les mains du plongeur ne touchent le fond du bassin. Remarque : en traçant la tangente en pointillés, on peut calculer le coefficient directeur de cette tangente qui

devrait être égal (en valeur absolue) à vP : Icoef. directeurI = 5 ( 2,9)

5 2

  

= 0,7 m.s-1 ce qui est nettement

différent de vp calculée en 2.2.4. (erreur sur le graphe ?)

2.3.On a : vy(tn+1) = vy(tn) + ay(tn).t (relation 1)

vy(tn+1)= –2,21 + 9,75  1,2010–2 vy(tn+1)= – 2,09 m.s-1

Cette valeur est bien comprise entre –2,21 m.s-1 et –1,99 m.s-1. On remarque que vy augmente.

D’après la relation 2, ay(tn+1) = 2,14 vy²(tn+1) – 0,700

= 2,14 (–2,09)² - 0,700 = 8,65 m.s-2

Cette valeur est bien comprise entre 9,75 m.s-2 et 7,77 m.s-2.Tableau 1 :

Dates en s vy en m.s-1 ay en m.s-2

tn = 1,44 10-1vy(tn) = – 2,21 ay(tn) = 9,75

tn+1 = 1,55 10-1 vy(tn+1) = – 2,09ay(tn+1) = 8,65

tn+2 = 1,68 10-1 vy(tn+2) = –1,99 ay(tn+2) = 7,77

Régime transitoire

v = |vy| diminue Régime permanent

v est constante

remarque : cette simulation ne

tient pas compte de la nouvelle

force exercée par le fond sur le

plongeur.

les mains

toucheraient le fond

dy

dt

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