Exercitations de physique mathématiques 7 , Exercices de Physique des Mathématiques
Eleonore_sa
Eleonore_sa13 May 2014

Exercitations de physique mathématiques 7 , Exercices de Physique des Mathématiques

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Exercitations de physique mathématiques sur la chute d'une bille dans la glycérine. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Mesure de la viscosité  de la glycérine, Étude théorique du mouvement de la bille.
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EXERCICE I Chute d'une bille dans la glycérine 5,5 pts

Antilles – Guyane 2008 EXERCICE I. CHUTE D'UNE BILLE DANS LA GLYCÉRINE (5,5 points)

Correction

1. Mesure de la viscosité de la glycérine 1.1. Voir schéma.

1.2. Poids de la bille : P = mbille.g. or  = m

V bille donc P = .V.g

1.3. Poussée d’Archimède : AP = mgly.g. où mgly est la masse de glycérol

déplacé par la bille, donc PA = 0.V.g.

1.4.1. La vitesse limite est atteinte avant le passage au niveau de R1. Entre

les deux repères R1 et R2 , le vecteur vitesse v de la bille est constant (norme v = v lim , direction selon l’axe Oy et sens celui de

j ). La bille a un mouvement rectiligne et uniforme.

1.4.2. La première loi de Newton (principe d’inertie) indique que les

forces se compensent. Alors 0extF  P + AP + f = 0 .

1.5.1. On a : f = 6..r.v

Analyse dimensionnelle : [] =      

       

2 1 1

1

f m . a M.L.T M.L .T

r . v r . v L.L.T

  

   

Donc s’exprime en kg.m-1.s-1.

1.5.2. P + AP + f = 0

 .V.g j – 0.V.g j – 6..r.vlim j = 0

en projection sur l’axe (y’y) on a :

 .V.g – 0.V.g – 6..r.vlim = 0

 V.g.( – 0) = 6..r.vlim

 =  0 6 lim

V.g .

.r.v  

Or : 34

3 V r  donc en reportant :  =  3 0

4

3 6 lim

g r . .

.r.v   

 finalement :

 2 02 9 lim

r .g.

v

   

1.6.1. vlim= h

t '

vlim=

240 0 10

1 66

,

,

 = 0,241 m.s-1.

1.6.2.  2 02

9 lim

r .g.

v

   

 =    

2 3 3 32 5 00 10 9 81 7 80 10 1 26 10

9 0 241

, , , ,

,

      

 = 1,48 kg.m-1.s-1

1.6.3. thé= 1,49 SI.

écart relatif : 100 thé

thé

     

1 49 1 48

100 1 49

, ,

,

   0,7 %.

P

AP

f

j

O

y

2. Étude théorique du mouvement de la bille 2.1. On applique la deuxième loi de Newton à la bille, de masse m, dans le référentiel du laboratoire,

supposé galiléen : extF m.a   P + AP + f = m.a

 .V.g. j – 0.V.g. j – 6..r.v j = .V. dv

dt

en projection sur (y’y) : .V.g – 0.V.g – 6..r.v = V. dv

dt

en divisant par (.V), il vient : dv

dt = g – 0

 .g –

6 . .r .v

.V



 = 0

6 1

r g. .v

V

        

dv

dt +

6 r .v

V



 = 01g.      

en identifiant avec l’équation: dv

dt + A.v = B on a : A =

6 . .r

.V



 et B = 01g.

     

Remarque : on peut vérifier les valeurs de A et B proposées dans le sujet :

A =

 

3

3 3 3

6 1 49 5 00 10

4 7 80 10 5 00 10

3

, ,

, . . ,

  

   

= 34,4 s-1 B = 3

3

1 26 10 9 81 1

7 80 10

, ,

,

    

  = 8,23 m.s-2

2.2. Vitesse limite atteinte par la bille : v = vlim = cte alors dv

dt = 0 donc A.vlim = B soit vlim =

B

A

vlim = 8 23

34 4

,

, = 0,239 m.s-1 or en 1.6.1. on a mesuré vlim,exp = 0,241 m.s-1

La valeur vlim est en accord la valeur expérimentalevlim,exp : écart relatif de 0,8 %.

2.3. Le rapport 1/A s’exprime en s (car A s’exprime en s-1). Donc 1/A est homogène à une durée : 1/A

correspond à la durée caractéristique de chute de la bille dans la glycérine.

Considérons l’équation différentielle à la date t = 0 s : 0t

dv

dt 

     

+ A.v(t=0) = B

La bille est lâchée sans vitesse initiale v(t=0) = 0 donc 0t

dv

dt 

     

= B

Donc B correspond à l’accélération de la bille à la date t = 0 s.

2.4.1. Le pas t est : t = ti+1 – ti = 0,025 – 0,020 = 0,005 s = 5 ms.

2.4.2. méthode d'Euler : v6 = v5 + a5.t

v6 = 0,146 + 3,20  510–3 = 0,162 m.s-1 (en gardant le même nombre de

chiffres significatifs que ceux du tableau).a7 = (B – A.v7)

a7 = 8,23 – 34,4  0,175 = 2,21 m.s-2Les valeurs calculées pour v6 et a7 sont cohérentes avec celles du tableau. 2.5.1. & 2.5.2.

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