Exercitations de physique mathématiques 8 - correction, Exercices de Physique Mathématiques
Eleonore_sa
Eleonore_sa13 May 2014

Exercitations de physique mathématiques 8 - correction, Exercices de Physique Mathématiques

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Exercitations de physique mathématiques sur la chute verticale d’un ballon - correction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Équation différentielle du mouvement, Feuille de calcul du tableur, Courbe v - obt...
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Exercice II : Chute verticale d'un ballon (5 points)

Polynésie 2008 EXERCICE II : CHUTE VERTICALE D’UN BALLON (5 points) Correction

1. Équation différentielle du mouvement 1.1. Valeurs des forces s’exerçant sur le système {ballon gonflé + bille} :

Poids du système : P = M.g

Poussée d’Archimède :  = mair.g où mair est la masse d’air déplacé par le ballon de baudruche de volume V (la bille ayant un volume négligeable devant V)

or airair m

V     donc  = .V.g

La force de frottement fluide a une valeur proportionnelle au carré

de la vitesse vG donc f = k. 2

Gv

1.2. On applique la deuxième loi de Newton au système {ballon gonflé + bille}, de masse M, dans le référentiel du laboratoire,

supposé galiléen : extF M.a   P +  + f = M.a

 M.g. j – .V.g. j – k. 2Gv . j = M. Gdv

dt

en projection sur (y’y) : M.g – .V.g – k. 2Gv = M. Gdv

dt

en divisant par M, il vient : G dv

dt = g –

.V

M

 .g – 2G

k. .v

M = 21 G

.V k g. .v

M M

    

 

soit finalement : G dv

dt = 21 G

.V k g. .v

M M

    

 

1.3. L’équation est bien de la forme : G dv

dt = A – B. 2Gv

En identifiant les deux équations il vient : A = 1 .V

g. M

   

  et B =

k

M

1.4. A =  

    

1,20 3,05 9,81 1

10,7 = 6,45 S.I.

Le terme 1 .V

M

   

  n’a pas d’unité car .V est homogène à une masse. Ainsi l’unité de A est

identique à celle de g. Comme g s’exprime en m.s-2 (voir donnée énoncé) alors A s’exprime aussi en m.s-2. Ainsi : A = 6,45 m.s-2.

1.5. Lorsque le système atteint la vitesse limite, vG = v = Cte, donc G dv

dt = 0 et A – B. 2v = 0

soit B = 2

A

v .

1.6. B = 2

6,45

2,75 = 0,853 S.I.

Dimension de B : [B] =   12

2 22

 

  

   

A L.T L

L .Tv donc B est homogène à l’inverse d’une longueur et

s’exprime en m-1. Ainsi : B = 0,853 m-1

P

f

j

y’

y

G

2. Feuille de calcul du tableur 2.1. La règle permet d’étalonner la distance sur le document vidéo. Le logiciel de pointage peut ainsi établir une correspondance entre les pixels de l’image et les distances réelles.

2.2. À la date t = 0,200 s : vexp = 7 5

7 5

y y

t t

vexp = 

0,184 0,092

0,240 0,160 = 1,15 m.s-1.

2.3. Méthode d’Euler , avec vG = v : dv

dt

v

t

  

donc : v

t

 = A – B. 2v  v = [A – B. 2v ] . t

ainsi entre les dates t5 et t6 : v (t6) – v (t5) = [A – B. 2v (t5)] . (t6 – t5)

finalement : v (t6) = v (t5) + [A – B. 2v (t5)] . (t6 – t5)

v (t6) = 1,00 + [6,45 – 0,853  1,00² ]  0,040 = 1,22 m.s-1(en gardant une précision au centième) 3. Courbe v = f(t) obtenue par la méthode d’Euler 3.1. Allure de v = f(t) : 3.2. Graphiquement, l’accélération ay(t) de la bille est égale au coefficient directeur de la

tangente au graphe vy = f(t) car : ay(t) = ydv

dt ; ici, avec les notations de l’énoncé : a(t) =

dv

dt .

Durant le régime transitoire, le coefficient directeur de la tangente au graphe v(t) diminue au cours du temps donc l’accélération diminue au cours du temps (la vitesse augmente de moins en moins vite). En régime permanent, la tangente est horizontale donc son coefficient directeur est nul. La valeur de l’accélération est nulle et la vitesse de la bille est constante.

v

vlim

 t

Régime

transitoire Régime

permanent

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