Exercitations - sciences mathématique - Amérique du Sud, Exercices de Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S22 May 2014

Exercitations - sciences mathématique - Amérique du Sud, Exercices de Mathématiques

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Exercitations de sciences mathématique - Amérique du Sud. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices, la probabilité, loi exponentielle.
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Les suites de Michel Mendès-France

Terminale S novembre 2005

Amérique du Sud

1. Exercice 1 (4 points)

Les parties A et B sont indépendantes

Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des composants en apparence tous identiques mais dont certains présentent un défaut.

On estime que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02.

Partie A

On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important pour que l’achat de 50 composants soit assimilé à 50 tirages indépendants avec remise, et on appelle X le nombre de composants défectueux achetés.

Alain achète 50 composants.

1. Quelle est la probabilité qu’exactement deux des composants achetés soient défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 101 près.

2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des composants achetés soit défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 102 près.

3. Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux ?

Partie B

On suppose que la durée de vie T1 (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi

exponentielle de paramètre 41 5 10   et que la durée de vie T2 (en heures) de chaque composant non

défectueux suit une loi exponentielle de paramètre 42 10  (on pourra se reporter au formulaire ci-

dessous).

1. Calculer la probabilité que la durée de vie d’un composant soit supérieure à 1 000 heures :

a. si ce composant est défectueux ;

b. si ce composant n’est pas défectueux.

Donner une valeur approchée de ces probabilités 102 près.

2. Soit T la durée de vie (en heures) d’un composant acheté au hasard.

Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état de marche après t heures de fonctionnement est :

4 45 10 10( ) 0,02 0,98t tP T t e e       .

(on rappelle que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02).

3. Sachant que le composant acheté est encore en état de fonctionner 1 000 heures après son installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux ?

Donner une valeur approchée de cette probabilité à 102 près.

Formulaire :

Loi exponentielle (ou de durée de vie sans vieillissement) de paramètre  sur [0 ;  [ :

Pour 0 a b  , ([ ; ]) b

x

a

P a b e dx   ; pour 0c ,   0[ ; [ 1 c

xP c e dx     .

2. Exercice 2 (5 points, non spécialistes)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . Unité graphique 2 cm.

Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z non nulle associe le point Md’affixe ztelle que 4

'z z  , où z désigne le nombre complexe conjugué de z.

1. Déterminer l’ensemble des points invariants par f.

2. Déterminer l’ensemble des points dont l’image par l’application f est le point J d’affixe 1.

3. Soit  un nombre complexe non nul. Démontrer que le point A d’affixe  admet un antécédent unique par f , dont on précisera l’affixe.

4. a. Donner une mesure de l’angle  , 'OM OM . Interpréter géométriquement ce résultat.

b. Exprimer 'z en fonction de z . Si r désigne un réel strictement positif, en déduire l’image par f du

cercle de centre O et de rayon r.

c. Choisir un point P du plan complexe non situé sur les axes de coordonnées et tel que OP = 3, et construire géométriquement son image Ppar f.

5. On considère le cercle C1, de centre J et de rayon 1. Montrer que l’image par f de tout point de C1, distinct de O, appartient à la droite D d’équation x = 2.

3. Exercice 2 (5 points, spécialistes)

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On prendra pour unité

graphique 4 cm. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d telles que :

a = i, b = 1 + 2i, 42 i

c e

 et d = 3 + 2i.

On considère la similitude directe s qui transforme A en B et C en D. Soit M un point d’affixe z et M’, d’affixe z’, son image par s.

1. Exprimer zen fonction de z. Déterminer les éléments caractéristiques de s.

Soit (Un) la suite numérique définie par : 0

1

0

2 1n n

U

U U

 

  pour tout n .

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, Un+1 etUn sont premiers entre eux.

3. Interpréter géométriquement, en utilisant la similitude s, les termes dela suite (Un).

4. Montrer que pour tout entier naturel n, 2 1nnU   .

5. Montrer que, pour tous entiers naturels n et p non nuls tels que n p , ( 1)n p n p n pU U U U    .

La notation pgcd(a ; b) est utilisée, dans la suite, pour désigner le plus grand diviseur commun à deux entiers naturels a et b. Montrer pour n pl’égalité

pgcd( , ) pgcd( , )n p p n pU U U U  .

6. Soit n et p deux entiers naturels non nuls, montrer que : pgcd( , )pgcd( , )n p n pU U U . Déterminer le

nombre : pgcd(U2005 , U15).

4. Exercice 3 (4 points)

Dans cet exercice, une réponse par « VRAI » ou « FAUX », sans justification, est demandée au candidat en regard d’une liste d’affirmations. Toute réponse conforme à la réalité mathématique donne 0,4 point. Toute réponse erronée enlève 0,1 point. L’absence de réponse n’est pas comptabilisée. Le total ne saurait être négatif.

On donne le cube ABCDEFGH, d’arête de longueur 1, et les milieux I et J des arêtes [AB] et [CG]. Les éléments utiles de la figure sont donnés ci-contre. Le candidat est appelé à juger chacune des dix affirmations suivantes. On utilisera pour répondre la feuille annexe, qui sera rendue avec la copie.

J

I

H

G

F D

E

C

B

A

n° Affirmation Vrai

ou Faux

1 1

. 2

AC AI

2 . .AC AI AI AB

3 . .AB IJ AB IC

4 . cos 3

AB IJ AB AC

  

On utilise à présente le repère orthonormal  ; , ,A AB AD AE

n° Affirmation Vrai

ou Faux

5

Une représentation paramétrique de la droite (IJ) est :

1

2

x t

y t

z t

   

 

, le paramètre t décrivant .

6

Une représentation paramétrique de la droite (IJ) est :

1 1

2

1

1 1

2 2

x t

y t

z t

  

  

    

, le paramètre t décrivant .

7 6x − 7y + 8z − 3 = 0 est une équation cartésienne de

la droite (IJ).

8 L’intersection des plans (FIJ) et (ABC) est la droite

passant par I et par le milieu de l’arête [DC].

9 Le vecteur de coordonnées (−4 ; 1 ; 2) est un vecteur

normal au plan (FIJ).

10 Le volume du tétraèdre EFIJ est égal à 1

6 .

Correction

1. Vrai : la projection orthogonale de C sur (AI) est B, on a donc 1 1

. . 1. 2 2

AC AI AB AI  

2. Vrai : même chose qu’au 1.

3. Vrai : dans le plan ABJ, J se projette en B et 1

. 2

AB IJ  , et c’est pareil pour C dans le plan ABC.

4. Vrai : AB = AC = 1 et 1

cos 3 2

  .

K

U J

I

H

G

F D

E

C

B

A

5 Un point de passage est B (t = 0) qui n’est pas sur la droite. F

6

Un point de passage est J (t = 0). Les coordonnées de A(0 ; 0 ; 0), de 1

; 0 ;0 2

I      

, de

1 1 ;1 ;

2 J      

d’où un vecteur directeur est 1 1

;1 ; 2 2

     

, ok.

V

7 C’est une équation de plan. F

8 Pour I c’est sûr, pour le milieu de [CD] c’est faux : (FJ) coupe (BC) en U et (IU) coupe (DC) en K qui n’est pas au milieu de [CD].

F

9

1 1 1 ; 0 0 ;1 0 ; 0 ;1

2 2 FI                

,  . 4 ;1 2 2 0 2 0FI       ;

1 1 ;1 ;

2 2 IJ       

,  . 4 ;1 ; 2 2 1 1 0IJ       .

V

10 La base est EFI qui a pour aire 1

2 , la hauteur est BC = 1, donc le volume est

1

6 . V

5. Exercice 4 (7 points)

Partie A

On considère les fonctions f et g définies sur par 2

( ) xf x e et 22( ) xg x x e .

On note respectivement Cf et Cg les courbes représentatives de f et g dans un repère orthogonal

( ; , )O i j , dont les tracés se trouvent sur la feuille annexe. La figure sera complétée et rendue avec la

copie.

1. Identifier Cf et Cg sur la figure fournie (justifier la réponse apportée).

2. Étudier la parité des fonctions f et g.

3. Étudier le sens de variationde f et de g . Étudier les limites éventuelles de f et de g en  .

4. Étudier la position relative de Cf et Cg.

Partie B

On considère la fonction G définie sur par 22

0

( ) x

tG x t e dt  .

1. Que représente G pour la fonction g ?

2. Donner, pour x > 0, une interprétation de G(x) en termes d’aires.

3. Étudier le sens de variations de G sur .

On définit la fonction F sur par : pour tout réel x, 2

0

( ) x

tF x e dt  .

4. Démontrer, que, pour tout réel x, 21

( ) ( ) 2

xG x F x xe     

; (on pourra commencer par comparer les

fonctions dérivées de G et de 21

( ) 2

xx F x xe     

.

On admet que la fonction F admet une limite finie l en  , et que cette limite l est égale à l’aire, en

unités d’aire, du domaine A limité par la courbe Cf et les demi-droites [ ; )O i et [ ; )O j .

5. a. Démontrer que la fonction G admet une limite en  que l’on précisera.

b. Interpréter en termes d’aires le réel   1 22

0

1 tN t e dt  .

c. En admettant que la limite de G en  représente l’aire P en unités d’aire du domaine D limité par la

demi-droite [ ; )O i et la courbe Cg justifier graphiquement que :

  1 22

0

1 2

t lN t e dt  

(on pourra illustrer le raisonnement sur la figure fournie).

Document à rendre avec la copie - Annexe

Exercice 3

Affirmation n° Vrai ou faux

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Exercice 4

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5

x

y

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