Exercitations - sciences mathématique - La Réunion, Exercices de Mathématiques
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Eusebe_S22 May 2014

Exercitations - sciences mathématique - La Réunion, Exercices de Mathématiques

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Exercitations de sciences mathématique - La Réunion. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices, le graphique.
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Les suites de Michel Mendès-France

Terminale S juin 2005

La Réunion

1. Exercice 1 (4 points)

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes et sont notées sur un point chacune.

Pour chaque question, il y a exactement deux propositions correctes. Le candidat doit indiquer sur sa copie les deux propositions vraies. Aucune justification n’est demandée.

Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point. Donner trois propositions ou plus d’une question, ou bien n’en donner aucune, ne rapporte aucun point. Si, par application de ce barème, le total des points de l’exercice est négatif, il est ramené à zéro.

1. Les suites suivantes sont convergentes :

a. 2005

0

2n

n n

      

b. 2 ( 1)

1

n

n

n n

n

      

c. 0

1 sin

n

n n

     

d.

1 ln

n

n

n

     

2.On considère trois suites (un) , (vn) et (wn) ayant, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes :

n n nu v w  , lim ( ) 1n n

u 

  et lim ( ) 1n n

w 

 .

Alors :

a. lim ( ) 0n n

v 

 .

b. La suite (un) est minorée.

c. Pour tout n de , on a : 1 1nv   .

d. On ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non.

3. Une suite (un) est définie sur par 0

1

1, 5

2 1n n

u

u u

 

  pour tout entier naturel n.

a. La suite (un) converge vers 1, abscisse du point d’intersection des droites d’équations y = x et y = 2x −1.

b. La suite (vn), définie sur par vn = un −1, est géométrique.

c. La suite (vn) est majorée.

d. La suite (wn), définie sur par wn = ln (un −1), est arithmétique.

4. Deux suites (xn) et (yn) sont définies pour n > 0 par les relations :

1 1 1 ...

1 2 nx

n n n    

 et

1 1 1 ...

1 2 2 ny

n n n      

.

a. Les suites (xn) et (yn) sont toutes les deux croissantes.

b. 3 19

20 x  et 3

37

60 y  .

c. Les suites (xn) et (yn) ne sont pas majorées.

d. Les suites (xn) et (yn) sont adjacentes.

2. Exercice 2 (5 points, non spécialistes)

On considère trois urnes U1, U2 et U3.

L’urne U1 contient deux boules noires et trois boules rouges ; l’urne U2 contient une boule noire et quatre boules rouges ; l’urne U3 contient trois boules noires et quatre boules rouges.

Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de U1 et une boule de U2, à les mettre dans U3, puis à tirer au hasard une boule de U3. Pour i prenant les valeurs 1, 2 et 3, on désigne par Ni, (respectivement Ri ) l’évènement

« on tire une boule noire de l’urne Ui » (respectivement « on tire une boule rouge de l’urneUi »).

1. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités suivant

2. a. Calculer la probabilité des évènements

1 2 3N N N  , et 1 2 3N R N  .

b. En déduire la probabilité de l’évènement 1 3N N .

c. Calculer de façon analogue la probabilité de l’évènement 1 3R N .

3. Déduire de la question précédente la probabilité de l’évènement N3.

4. Les évènements N1 et N3 sont-ils indépendants ?

5. Sachant que la boule tirée dans U3 est noire, quelle est la probabilité que la boule tirée de U1 soit rouge ?

3. Exercice 2 (5 points, spécialistes)

Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant :

« Étant donnés deux entiers naturels a et b non nuls, si PGCD(a ; b) = 1 alors PGCD(a2 ; b2 ) = 1 ».

Une suite (Sn) est définie pour n >0 par 3

1

n

n

p

S p

 . On se propose de calculer, pour tout entier naturel

non nul n, le plus grand commun diviseur de Sn et Sn+1.

1. Démontrer que, pour tout n > 0, on a : 2

( 1)

2 n

n n S

      

.

2. Étude du cas où n est pair. Soit k l’entier naturel non nul tel que n = 2k.

a. Démontrer que 2 2 22 2 1PGCD( ; ) (2 1) PGCD( ;( 1) )k kS S k k k    .

b. Calculer PGCD (k ; k +1).

c. Calculer PGCD(S2k ; S2k+1).

3. Étude du cas où n est impair. Soit k l’entier naturel non nul tel que n = 2k +1.

a. Démontrer que les entiers 2k +1 et 2k +3 sont premiers entre eux.

b. Calculer PGCD(S2k+1; S2k+2).

4. Déduire des questions précédentes qu’il existe une unique valeur de n, que l’on déterminera, pour laquelle Sn et Sn+1 sont premiers entre eux.

4. Exercice 3 (4 points)

On se propose de démontrer qu’il existe une seule fonction f dérivable sur vérifiant la condition :

N3

R3

N3

R3

N3

R3

N3

R3

N2

R2

N2

R2

N1

R1

( ) '( ) 1 pour tout nombre réel , (C)

(0) 4

f x f x x

f

  

 

(où f’ désigne la fonction dérivée de la fonction f ) et de trouver cette fonction.

1. On suppose qu’il existe une fonction f satisfaisant la condition (C) et on considère alors la fonction g définie sur par g(x) = f(−x)f(x).

a. Démontrer que la fonction f ne s’annule pas sur .

b. Calculer la fonction dérivée de la fonction g .

c. En déduire que la fonction g est constante et déterminer sa valeur.

d. On considère l’équation différentielle (E) 1

' 16

y y . Montrer que la fonction f est solution de cette

équation et qu’elle vérifie f (0)=−4.

2. Question de cours :

a. On sait que la fonction 16 x

x e est solution de l’équation différentielle (E). Démontrer alors que l’ensemble des solutions de l’équation (E) est l’ensemble des fonctions, définies sur , de la forme

16

x

x Ke , où K est un nombre réel quelconque.

b. Démontrer qu’il existe une unique solution de l’équation différentielle (E) prenant la valeur 4 en 0.

3. Déduire des questions précédentes qu’il existe une seule fonction dérivable sur satisfaisant la condition (C) et préciser quelle est cette fonction.

5. Exercice 4 (4 points)

On appelle hauteur d’un tétraèdre toute droite contenant l’un des sommets de ce tétraèdre et perpendiculaire au plan de la face opposée à ce sommet. Un tétraèdre est orthocentrique si ses quatre hauteurs sont concourantes.

Partie A

On considère un tétraèdre ABCD et on note H le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).

Démontrer que, si les hauteurs du tétraèdre ABCD issues des points A et B sont concourantes, alors la droite (BH) est une hauteur du triangle BCD.

Partie B

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k on donne les points A(3 ; 2 ; 1), B(6 ; 1 ; 1),

C(4 ;3 ; 3) et D(1 ; 5 ; 1).

1. a. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (BCD) est : 2x −3y +4z −13 = 0.

b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).

c. Calculer le produit scalaire .BH CD .

d. Le tétraèdre ABCD est-il orthocentrique ?

2. On définit les points I(1 ; 0 ; 0), J(0; 1; 0), K(0 ; 0 ; 1). Le tétraèdre OIJK est-il orthocentrique ?

6. Exercice 5 (3 points)

L’exercice comporte une annexe à rendre avec la copie.

On considère les fonctions f et g définies, sur l’intervalle [0 ;  [, par f(x) = ln(x +1) et ( ) 1xg x e  . On

désigne par Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthonormal

( ; , )O i j . Ces courbes sont tracées sur la feuille annexe, dont le candidat disposera comme il le jugera

utile ; cette annexe sera à joindre à la copie, avec les éventuels ajouts effectués par le candidat,

1. Vérifier que les courbes Cf et Cg ont une tangente commune au point O(0 ; 0). Préciser la position de la courbe Cf par rapport à cette tangente.

2. Démontrer que les courbes Cf et Cg sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

3. Soit a un nombre réel strictement positif. On se propose de calculer de deux façons différentes le

nombre 0

( ) ln( 1) a

I a x dx  .

a. En utilisant des considérations d’aires, démontrer que ln( 1)

0

( ) ln( 1) ( 1) a

xI a a a e dx

    .

b. En déduire la valeur de I (a).

c. Retrouver la valeur de I (a) en effectuant une intégration par parties.

Courbes de l’exercice 5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

x

y

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