Exercitations - sciences mathématique - National remplacement, Exercices de Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S22 May 2014

Exercitations - sciences mathématique - National remplacement, Exercices de Mathématiques

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Exercitations de sciences mathématique - National remplacement. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices, correction.
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Baccalauréat TS

Terminale S septembre 2005

National remplacement

1. Exercice 1 (7 points)

Partie A

La fonction f est définie sur l’intervalle [0 ;  [ par

1

2( ) (20 10) x

f x x e

  .

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j (unité

graphique 1 cm).

1. Étudier la limite de la fonction f en  .

2. Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations.

3. Établir que l’équation f(x) = 10 admet une unique solution strictement positive  dans l’intervalle ]0 ;  [. Donner une valeur décimale approchée à 10−3 près de  .

4. Tracer la courbe C.

5. Calculer l’intégrale 3

0

( )f x dx .

Partie B

On note y(t) la valeur, en degrés Celsius, de la température d’une réaction chimique à l’instant t, t étant exprimé en heures. La valeur initiale, à l’instant t = 0, est y(0) = 10.

On admet que la fonction qui, à tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ;  [ associe y(t), est solution de

l’équation différentielle (E) :

1

2 1

' 20 2

t

y y e

  .

1. Vérifier que la fonction f étudiée dans la partie A est solution de l’équation différentielle (E) sur l’intervalle [0 ;  [.

2. On se propose de démontrer que cette fonction f est l’unique solution de l’équation différentielle (E), définie sur l’intervalle [0 ;  [, qui prend la valeur 10 à l’instant 0.

a. On note g une solution quelconque de l’équation différentielle (E), définie sur [0 ;  [ vérifiant g(0) = 10. Démontrer que la fonction g − f est solution, sur l’intervalle [0 ;  [, de l’équation

différentielle (E’) : 1

' 0 2

y y  .

b. Résoudre l’équation différentielIe (E’).

c. Conclure.

3. Au bout de combien de temps la température de cette réaction chimique redescend-elle à sa valeur initiale ? Le résultat sera arrondi à la minute.

4. La valeur  en degrés Celsius de la température moyenne à cette réaction chimique durant les trois premières heures est la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 3].

Calculer la valeur exacte de  , puis donner la valeur approchée décimale de  arrondie au degré.

2. Exercice 2 (5 points, non spécialistes)

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Chaque réponse exacte rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.Aucune justification n’est demandée.

1. Soit z le nombre complexe de module 2 et d’argument 3

 . On a alors :

A : 14 128 3 128z i   . C : 14 64 64 3z i   .

B : 14 64 64z i  . D : 14 128 128 3z i   .

2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, le point S d’affixe 3 et le point

T d’affixe 4i. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z tels que 3 3 4z i   .

A : (E) est la médiatrice du segment [ST].

B : (E) est la droite (ST) ;

C : (E) est le cercle de centre  d’affixe 3 − 4i, et de rayon 3 ;

D : (E) est le cercle de centre S et de rayon 5.

3. On considère un hexagone régulier ABCDEF, dont les côtés sont de longueur 1. Le produit scalaire

.AC CE est égal à :

A : 3 . B :−3 . C : 3 . D : 3

2  .

4. Une fonction g est définie sur l’intervalle ]  ; 0] par 2 2

( ) 3

x x g x

x

 

 ; soit  sa courbe

représentative dans un repère du plan.

A :  admet une asymptote d’équation y =−1.

B :  n’admet pas d’asymptote.

C :  admet une asymptote d’équation y = x.

D :  admet une asymptote d’équation y = 1.

5. Soit la fonction f définie sur par 2

0

( ) x

tf x e dt  . La fonction f’’, dérivée seconde de la fonction f sur , est définie par :

A : 2

0

''( ) 2 x

tf x te dt  . C : 2

''( ) 2 xf x xe  .

B : 2

0

( ) x

xf x e dx  . D : 2

''( ) xf x e .

3. Exercice 2 (5 points, spécialistes)

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidatindiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n’est demandée.

1. On considère dans l’ensemble des entiers relatifs l’équation : 2 4 0 (modulo 6)x x   .

A : toutes les solutions sont des entiers pairs.

B : il n’y a aucune solution.

C : les solutions vérifient 2(6)x  .

D : les solutions vérifient 2(6)x  ou 5(6)x  .

Correction

Testons la réponse D : si 2(6)x  alors      2 4 4 2 4 6 6 6 0 6x x       ; si 5(6)x  alors

     2 4 25 5 4 6 24 6 0 6x x       . Ok.

2. On se propose de résoudre l’équation (E) : 24x + 34y = 2, où x et y sont des entiers relatifs.

A : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (34k−7 ; 5−24k), k .

B : L’équation (E) n’a aucune solution.

C : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (17k−7 ; 5−12k), k .

D : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (−7k ; 5k), k .

Correction

Simplifions par 2 : 12x + 17y = 1 a toujours des solutions car 12 et 17 sont premiers entre eux ; la B est fausse. Si on cherche une solution particulière la C donne l’idée que −7 et 5 est pas mal :

12 7 17 5 1    . Après on termine de manière classique pour obtenir la solution C.

3. On considère les deux nombres n = 1 789 et p = 17 892005. On a alors :

A : 4(17)n  et 0(17)p  . C : 4(17)p  .

B : p est un nombre premier. D : 1(17)p  .

Correction

On a n = 1 789 =4 modulo 17 ; par ailleurs  24 16 1 17   donc       10022 1002 14 1 4 17 4 17      .

Réponse C.

4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les points A et B d’affixes respectives a et b. Le triangle MAB est rectangle isocèle direct d’hypoténuse [AB] si et seulement si le point M d’affixe z est tel que :

A : 1

b ia z

i

  

. C : az = i(bz).

B : 4 ( ) i

z a e b a

   . D : ( ) 2

b z a z

   .

5. On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu du segment [AB].

Soit f la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d’angle 2

3

 ; soit g la similitude directe de centre

A, de rapport 1

2 et d’angle

3

 ; soit h la symétrie centrale de centre I.

A : h g f transforme A en B et c’est une rotation.

B : h g f est la réflexion ayant pour axe la médiatrice du segment [AB].

C : h g f n’est pas une similitude.

D : h g f est la translation de vecteur AB .

4. Exercice 3 (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

1. On considère le plan Ppassant par le point B(1 ; 2 ; 1) et de vecteur normal  2 ;1 ; 5n  et le plan R

d’équation cartésienne x + 2y − 7 = 0.

a. Démontrer que les plans Pet Rsont perpendiculaires.

b. Démontrer que l’intersection des plans Pet Rest la droite  passant par le point C(1 ; 4 ; 1) et de

vecteur directeur u (2 ; 1 ; 1).

c. Soit le point A(5 ; 2 ; 1). Calculer la distance du point A au plan P, puis la distance du point A au plan R.

d. Déterminer la distance du point A à la droite  .

2. a. Soit, pour tout nombre réel t, le point Mt de coordonnées (1 + 2t ; 3 − t ; t). Déterminer en fonction

de t la longueur AM. On note ( )t cette longueur. On définit ainsi une fonction  de dans .

b. Étudier le sens de variations de la fonction  sur ; préciser son minimum.

c. Interpréter géométriquement la valeur de ce minimum.

5. Exercice 4 (3 points)

Partie A

On dispose d’un dé en forme de tétraèdre régulier, possédant une face bleue, deux faces rouges et une face verte ; on suppose le dé parfaitement équilibré.

Une partie consiste à effectuer deux lancers sucessifs et indépendants de ce dé. À chaque lancer on note la couleur de la face cachée.

On considère les évènements suivants :

E est l’évènement « à l’issue d’une partie, les deux faces notées sont vertes »,

F est l’évènement « à l’issue d une partie, les deux faces notées sont de la même couleur ».

1. Calculer les probabilités des évènements E et F ainsi que la probabilité de E sachant F.

2. On effectue dix parties identiques et indépendantes. Calculer la probabilité d’obtenir au moins deux fois l’évènement F au cours de ces dix parties (on en donnera une valeur approchée décimale à 10−3 près).

Partie B

On souhaite savoir si le dé utilisé peut être considéré comme parfaitement équilibré. Pour cela on numérote de 1 à 4 les quatre faces de ce dé, puis on lance ce dé 160 fois en notant le nombre ni de fois où chaque face est cachée ; on obtient les résultats suivants :

face i 1 2 3 4

effectif ni 30 48 46 32

On note fi la fréquence relative à la face ni et 2 obsd le réel

4 2

1

1

4 i

i

f

   

   . On simule ensuite 1 000 fois

l’expérience consistant à tirer un chiffre au hasard 160 fois parmi l’ensemble (1 ; 2 ; 3 ; 4) puis, pour

chaque simulation, on calcule

4 2 2

1

1

4 i

i

d F

    

   , où Fi est la fréquence d’apparition du nombre i. Le

9ème décile de

la série statistique des 1 000 valeurs de d2 est égal à 0,0098. Au vu de l’expérience réalisée et au risque de 10 %, peut-on considérer le dé comme parfaitement équilibré ?

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