Exercitations - sciences mathématique - Polynésie remplacement, Exercices de Mathématiques
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Eusebe_S22 May 2014

Exercitations - sciences mathématique - Polynésie remplacement, Exercices de Mathématiques

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Exercitations de sciences mathématique - Polynésie remplacement. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices, le repère, l’image, le repère orthogonal.
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Les suites de Michel Mendès-France

Terminale S septembre 2005

Polynésie remplacement

1. Exercice 1 (5 points)

On étudie le mouvement aléatoire d’une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C. À l’instant 0, la puce est en A.

Pour tout entier naturel n :

si à l’instant n la puce est en A, alors à l’instant (n +1), elle est : soit en B avec une probabilité égale à 1

3 ; soit en C avec une probabilité égale à

2

3 ;

si à l’instant n la puce est en B, alors à l’instant (n +1), elle est : soit en C, soit en A de façon équiprobable ;

si à l’instant n la puce est en C, alors elle y reste.

On note An (respectivement Bn, Cn) l’évènement « à l’instant n la puce est en A » (respectivement en B, en C). On note an (respectivement bn, cn) la probabilité de l’évènement An, (respectivement Bn, Cn).

On a donc : a0 = 1, b0 = c0 = 0.

Pour traiter l’exercice, on pourra s’aider d’arbres pondérés.

1. Calculer ak , bk et ck pour k entier naturel tel que 1 3k  .

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, 1n n na b c   et 1

1

1

2

1 .

3

n n

n n

a b

b a

 

   

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, 2 1

6 n na a  .

c. En déduire que, pour tout entier naturel p, 2 2 1

2 2 1

1 et 0

6

1 1 0 et .

3 6

p

p p

p

p p

a a

b b

      

      

     

3. Montrer que lim 0n n

a 

 . On admet que lim 0n n

b 

 . Quelle est la limite de cn lorsque n tend vers  ?

2. Exercice 2 (7 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique : 1 cm).

Partie A

Dans le repère ( ; , )O u v , on considère la courbe Hd’équation 2 2 16y x  .

1. Montrer que Hest la réunion de deux courbes Cet Coù Cest la courbe représentative de la fonction f

définie sur par 2( ) 16f x x  et où Cest l’image de Cpar une transformation simple que l’on

précisera.

2. Étudier la fonction f (limites aux bornes de l’ensemble de définition et sens de variation).

a. Montrer que la droite d’équation y = x est une asymptote de C.

b. Tracer Hdans le repère ( ; , )O u v .

On nomme A et B les points de la courbe H d’abscisses respectives 3 et 3. On considère le domaine D

du plan constitué des points M(x ; y) vérifiant 3 3x   et 2 16 5x y   . Hachurer le domaine Det

exprimer l’aire de Dà l’aide d’une intégrale que l’on ne cherchera pas à calculer.

Partie B

On appelle r la rotation de centre O et d’angle 4

 .

1. a. Donner l’écriture complexe de r .

b. On désigne par xet y’ les coordonnées du point M’, image par r du point M(x ; y) du plan.

Vérifier que

 

 

1 '

2

1 '

2

x x y

y x y

  

     

. Déterminer les coordonnées des points Aet B’, images respectives de A et

B par la rotation r. Placer les points Aet Bdans le repère ( ; , )O u v .

2. Soit H’l’hyperbole d’équation xy = 8.

a. Tracer H’dans le repère ( ; , )O u v .

b. Montrer que H’est l’image de H par la rotation r.

3. Soit Dl’image de Dpar la rotation r. On admet que Dest l’ensemble des points M(x ; y) du plan

vérifiant 2 4 2x  et 8

5 2y x x    .

a. Hachurer D’.

b. Calculer l’aire de D’ exprimée en cm2. En déduire une valeur approchée à 10−3 près de l’aire de D.

3. Exercice 3 (3 points)

Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

Dans tout l’exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

1. Le point M est situé sur le cercle de centre A(−2 ; 5) et de rayon 3 . Son affixe z vérifie :

a. 2

2 5 3z i   ; b. 2

2 5 3z i   ; c. 2 5 3z i   .

2. On considère trois points A, B et C d’affixes respectives a, b et c, deux à deux distincts et tels que le triangle ABC n’est pas équilatéral. Le point M est un point dont l’affixe z est telle que les nombres

complexes z b

c a

 et

z c

b a

 sont imaginaires purs.

a. M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ;

b. M appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AD] ;

c. M est l’orthocentre du triangle ABC.

3. Soit A et B les points d’affixes respectives 1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diamètre [AB]. On

appelle G l’isobarycentre des points A, B et C et on note Gz son affixe.

a. 5

3 2, 5 6

Gz i   ; b. 1

(1 ) (4 3 ) 3

Gz i i    ; c. 1

(3 2, 5 ) (4 3 ) 3

Gz i i    .

4. Exercice 4 (5 points)

L’annexe se rapporte à cet exercice. Elle sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

Le plan est rapporté à un repère orthogonal ( ; , )O i j .

Soit la fonction f définie sur [0 ;  [ par ( ) cos(4 )xf x e x et  sa courbe représentative tracée dans le

repère ( ; , )O i j ci-dessous. On considère également la fonction g définie sur [0 ;  [ par ( ) xg x e et

on nomme Csa courbe représentative dans le repère ( ; , )O i j .

1. a. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ;  [, ( )x xe f x e    .

b. En déduire la limite de f en  .

2. Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes  et C.

3. On définit la suite  nu sur par 2

nu f n  

    

.

a. Montrer que la suite  nu est une suite géométrique. En préciser la raison.

b. En déduire le sens de variation de la suite  nu et étudier sa convergence.

4. a. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ;  [,  '( ) cos(4 ) 4sin(4 )xf x e x x   .

b. En déduire que les courbes  et Cont même tangente en chacun de leurs points communs.

5. Donner une valeur approchée à 10−1 près par excès du coefficient directeur de la droite Ttangente à la

courbe  au point d’abscisse 2

 . Compléter le graphique donné en annexe, en y traçant Tet C.

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

x

y

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