Géométrie algorithmique – exercices – 1, Exercices de Géométrie Algorithmique. Université Bordeaux I
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Eusebe_S10 April 2014

Géométrie algorithmique – exercices – 1, Exercices de Géométrie Algorithmique. Université Bordeaux I

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Géométrie algorithmique – exercices – 1 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le nombre réel de l’intervalle, le module de Z.
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[ Baccalauréat C groupe 4 1 juin 1988 \

EXERCICE 1 4 POINTS

θ étant un nombre réel de l’intervalle ]0 ; 2π[, on considère les deux nombres com- plexes :

z = eiθ, (ou encore z = cosθ+ i sinθ) et Z = 1+ z 1− z

et on note |Z | le module de Z .

1. Montrer que Z = icotan θ

2 où cotan

θ

2 =

cos θ2 sin θ2

.

2. Pour quelles valeurs de θ l’argument de Z est-il défini ? À quoi est-il alors égal ? (On distinguera deux cas suivant les valeurs de θ.)

3. A quoi est égal |Z | ?

4. On pose I = ∫π

π 2

|Z |dθ. Justifier l’existence de cette intégrale et la calculer (on

pourra mettre |Z | sous la forme k u′(θ)

u(θ) où k est un nombre réel et u une fonc-

tion de θ.

EXERCICE 2 4 POINTS

On considère dans le plan orienté deux cerclesC1 etC2 demême rayon r , de centres respectifs O1 et O2 et tangents extérieurement en A. On appelle f la transformation obtenue en effectuant d’abord la translation T de

vecteur −−−−→ O1O2 puis la rotation R de centre O2 et d’angle+

π

3 (modulo 2π), (on donne

donc f =R◦T).

1. Dessiner la figure F formée par C1 et C2 en prenant r = 4 cm. 2. Soit M1 un point quelconque de C1.

Montrer que M2 = f (M1) est un point de C2. Faire apparaître M1 et M2 sur la figureF .

3. Déterminer l’image de O1 par f .

4. On pose A′ = f (A) et on appelle B le symétrique de A par rapport à O2, Que peut-on dire du triangle O2A′B? Placer le point A′ sur la figureF .

5. Montrer que f est une rotation dont on précisera l’angleα et le centre I. Placer I sur la figureF .

Que peut-on dire du triangle O1O2I ? Exprimer AI en fonction de r .

PROBLÈME 12 POINTS

Sans être totalement indépendantes, les trois parties du problème peuvent abordées

dans un ordre quelconque

I. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f (x)= x p 3 + p 3

2x

et soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Aix-Marseille - Nice - Corse - Montpellier - Toulouse

Le baccalauréat de 1988 A. P. M. E. P.

1. a. Étudier les variations de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[. b. Préciser les équations des asymptotes de C (pour déterminer l’une ces

asymptotes, on étudiera lim x→+∞

(

f (x)− x p 3

)

.

c. Tracer la courbe C .

2. a. Soit m un nombre réel et soit ∆ la droite d’équation y = m. Discuter, suivant les valeurs de m, le nombre de points d’intersection de ∆ et de C .

b. Pour tout m > p 2, on appelle A et B les points d’intersection de ∆ et de

C .

Soit I le milieu du segment [AB].

Montrer que, quand m décrit l’intervalle ] p 2 ; +∞[, I décrit une partie,

que l’on précisera, de la droite D d’équation x = p 3

2 y .

3. On construit une suite de points (An)n∈N de la façon suivante :

A0 est le point de C d’abscisse 2 ;

pour tout n> 0, à partir du point An de C , on détermine Bn , deuxième point d’intersection de C avec la parallèle à xx passant par An , puis In , milieu du segment [AnBn ] ;

An+1 est alors le point de C de même abscisse que In . [On admet, et . n’est donc pas demandé de le démontrer, que le procédé décrit , ci-dessus définit bien la suite (An)n∈N.

Placer sur la figure les points A0, B0, I0, A1, B1, I1.

On appelle xn l’abscisse de An .

Montrer que pour tout n> 0,

xn+1 = 1

2

(

xn + 3

2xn

)

;x0 = 2

(On utilisera la question 2. b.)

II. Cette deuxième partie est consacrée à l’étude de la suite (xn )n∈N définie à la fin de la partie précédente.

1. Montrer que, pour tout n> 0, xn est défini et strictement positif.

2. Montrer que, pour tout n> 0, xn+1− √

3 2 =

(

xn− √

3 2

)2

2xn .

3. En déduire que, pour tout n> 0, xn > √

3 2 et ensuite que :

06 xn+1− √

3

2 6

(

xn − √

3

2

)2

4. Montrer, à l’aide des questions précédentes, que pour tout n> 0 :

06 xn − √

3

2 6

(

x0− √

3

2

)

)(2n).

(

pour démontrer la deuxième inégalité de cette double inégalité, on procèdera

par récurrence et l’on pourra poser, pour simplifier, pour tout n> 0,

un = xn − √

3 2 .

)

5. Enutilisant l’égalité (

x0− √

3 2

)(2n ) = e(2

n ) ln (

x0− √

3 2

)

,montrer que la suite (xn )n∈N converge et déterminer sa limite.

Aix-Marseille 2 juin 1988

Le baccalauréat de 1988 A. P. M. E. P.

III. Calcul sur machine

En utilisant toute la précision de la calculatrice, présenter dans un tableau les va- leurs décimales approchées des six premiers termes de la suite (xn )n∈N et des six premiers termes de la suite (xn )n∈N/ [La suite (xn)n∈N a été définie à la fin de la partie 1 du problème et on a posé = lim

n→+∞ xn .]

Aix-Marseille 3 juin 1988

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