Géométrie algorithmique – exercices – 10, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Géométrie algorithmique – exercices – 10, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie algorithmique – exercices – 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la droite d’intersection des plans (P) et (xOy), le triangle équilatéral ABC dans l’espace (E ).
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[ Baccalauréat C novembre 1988 \ Nouvelle-Calédonie

EXERCICE 1

L’espace (E ) est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

. On considère le

plan (P) d’équation 3x+4z−5 = 0 et l’ensemble (Γ) des points du plan (xOy) équi- distants du plan (P) et de l’origine.

1. Calculer la distance auplan (P) d’unpointM0 de (E ) de coordonnées (

x0 ; y0 ; z0 )

.

En déduire que (Γ) admet une équation dans (

O, −→ ı ,

−→

)

x2+ y2 =

(

3x−5

5

)2

.

2. Soit (D) la droite d’intersection des plans (P) et (xOy). Montrer que (Γ) est une conique de foyer O et de directrice associée (D). Déterminer son excentricité.

3. Préciser la nature de (Γ), les sommets de l’axe focal, le centre et les autres som-

mets. On donnera les coordonnées de ces points dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

du

plan (xOy).

Représenter (Γ) dans ce même repère.

EXERCICE 2

On considère le triangle équilatéral ABC dans l’espace (E ). Soient :

– O le centre de gravité du triangle ABC ; – I un point extérieur au plan (ABC), équidistant de A, B et C ; – J le symétrique de I par rapport au plan (ABC).

On suppose l’espace orienté et le plan (ABC) orienté de telle sorte que l’angle (

−−→ OA ,

−−→ OB

)

soit de sens direct. On se propose de déterminer l’ensemble (R) des réflexions de l’espace qui trans- forment l’ensemble {A, B, C} en lui-même.

1. Soit S un élément de (R). On note P le plan de S.

a. Montrer que P passe nécessairement par O.

b. Montrer que I a pour image I ou J par S. Que peut-on en déduire pour P ?

c. On se place dans le cas où S(I) = I. Déterminer alors le plan P en consi- dérant les différentes possibilités pour l’image de A.

2. En déduire l’ensemble (R).

3. Déterminer l’ensemble obtenu en composant 2 à 2 les éléments de (R). Com- bien de transformations distinctes trouve-t-on ainsi ? Préciser les demi-tours obtenus.

PROBLÈME (extrait)

L’objet de ce problème est l’étude d’une fonction f et la recherche d’une valeur ap- prochée de la solution x0 de l’équation f (x)= 0.

Partie I

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= 1

x − lnx.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. a. Étudier le sens de variation de f et déterminer les limites de f en 0 et en +∞.

b. Tracer la courbe représentative (

C f

)

de f dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(on prendra 2 cm pour unité).

c. Déterminer la limite de f (x)

x quand x tend vers +∞. La branche infinie

correspondante de la courbe (

C f

)

a-t-elle une asymptote ?

2. a. Démontrer l’existence et l’unité de la solution de l’équation f (x) = 0 dans ]0 ; +∞[. On note x0 cette solution.

b. Montrer que 1< x0 < 2.

3. Soit (D) la tangente à la courbe (

C f

)

au point d’abscisse 1.

a. Déterminer une équation de (D) de la forme y =αx+β.

Calculer l’abscisse x1 du point d’intersection de (D) avec l’axe des abs- cisses. Tracer (D) sur la figure précédente.

b. Étudier le sens de variation de la fonction ϕ définie sur ]0 ; +∞[ par

ϕ(x)= f (x)−αxβ.

En déduire le signe de ϕ et les positions relatives de (

C f

)

et de (D).

c. Comparer x0 et x1.

4. Pour tout x de ]0 ; +∞[, on pose F (x)= ∫x

1 f (t)dt .

a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer F (x).

En déduire que la valeur en cm2 de l’aire de la partie du plan délimitée par

(

C f

)

, l’axe des abscisses, et la droite d’équation x = 1 et la droite

d’équation x = x0, est égale à 4(x0−1)2

x0 .

Partie II

On se propose de déterminer une valeur approchée de x0. Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par

g (x)= exp

(

1

x

)

.

1. a. Montrer que g (x0)= x0.

b. Déterminer le sens de variation de g .

c. Montrer que 3

2 6 x 6 2 implique

3

2 6 g (x)6 2.

2. Il résulte de l’étude précédente que l’on peut définir une suite (Un) d’éléments

de

[

3

2 ; 2

]

, en posantU0 = 3

2 etUn+1 = g (Un) pour tout entier naturel n.

a. Montrer que 3

2 6 x 6 2 entraîne

g ′(x) ∣

∣6 0,9.

b. En déduire pour tout entier naturel n,

|Un+1− x0|6 (0,9) |Un x0| .

c. Démontrer que pour tout entier naturel n,

|Unx0|6 (0,9) |U0− x0| .

d. En déduire que la suite (Un) converge vers x0.

3. a. À l’aide du sens de variation de g , montrer que x0 est compris entreUn etUn+1.

b. CalculerUn pour n6 5 et en déduire un encadrement de x0.

Nouvelle-Calédonie 2 novembre 1988

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