Géométrie algorithmique – exercices – 11, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Géométrie algorithmique – exercices – 11, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie algorithmique – exercices – 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'unité graphique, la fonction f.
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[ Baccalauréat C groupe 1 1 juin 1988 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→

) . On considère le cercle C de

centre O et de rayon a et le cercle C′ de centre O et de rayon b, où a et b sont des nombres réels donnés tels que 0< b < a.

On note D et D′ les droites passant par O et de vecteurs directeurs respectifs −→ ı et

−→ .

Pour tout nombre réel θ, on note P le point du cercle C tel que θ soit une mesure (en

radians) de l’angle á(−→ ı ,

−−→ OP

) et P′ le point d’intersection de C′ avec la demi-droite ∆

d’origine O passant par P. Soit enfin M le point d’intersection de la droite passant par P parallèle à D′ et de la droite passant par P′ parallèle à D.

1. Calculer les coordonnées x et y deM en fonction de θ.

En déduire la nature de l’ensemble E décrit par M lorsque θ parcourt R.

2. a. Déterminer un vecteur directeur de la tangente T à la courbe E au point M.

b. Soit N le point d’intersection de la droite passant par P parallèle à D et de la droite passant par P′ parallèle à D′.

Prouver que T est orthogonale à la droite (ON).

En déduire une construction géométrique de T.

3. On prend a = 6 et b = 3. Construire sur une même figure les cercles C et C′, les droites D et D′ et l’ensemble E.

On placera sur cette figure les points P, P′, M et N correspondant à θ = π

4 , et la

tangente T en M à E (on prendra 1 cm pour unité graphique).

EXERCICE 2 5 POINTS

Dans un plan P de l’espace, on considère un cercle C de diamètre [AB]. Soit ∆ la droite passant par A orthogonale à P et S un point de ∆ distinct de A. On note I le projeté orthogonal de A sur la droite (BS). Pour tout pointMdu cercle C onnoteH le projeté orthogonal de A sur la droite (MS).

1. Placer les données précédentes sur une figure, ∆ étant placée verticalement.

2. Prouver que H appartient à la sphère Σ de diamètre [AS].

3. Dans cette question, on suppose que M est distinct de A et de B.

Prouver que la droite (MB) est orthogonale au plan (AMS).

En déduire que la droite (AH) est orthogonale au plan (BMS).

4. Montrer que H appartient au plan Π passant par I orthogonal à la droite (BS).

5. a. Déterminer l’intersection Γ de la sphère Σ et du plan Π.

b. Prouver que l’ensemble décrit par H lorsque M parcourt C est égal à Γ. À cet effet, étant donné un point N′ de Γ distinct de A, on pourra montrer que le plan (AN′S) coupe le cercle C en A et en un autre point M.

PROBLÈME 11 POINTS

A L’objet de cette partie est d’étudier la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

1. Paris - Créteil - Versailles

Le baccalauréat de 1988 A. P. M. E. P.

f (x)= ln(1+ x)

x si x 6= 0 et f (0)= 1.

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→

)

unité graphique : 2 cm.

1. Encadrement de ln(1+ x).

a. Prouver que, pour tout nombre réel t > 0,

1− t 6 1

1+ t 6 1.

b. En intégrant ces inégalités, établir que, pour tout nombre réel x> 0,

xx2

2 6 ln(1+ x)6 x. (1)

2. Étude d’une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par :

g (x)= ln(1+ x)− 2x

2+ x

a. Montrer que g est dérivable et calculer g ′.

b. Prouver que, pour tout nombre réel x > 0,

06 g ′(x)6 x2

4

(pour majorer g ′(x), on minorera (1+ x)(2+ x)2).

c. En déduire que, pour tout nombre réel x> 0,

06 g (x)6 x2

12 (2)

3. Variations de la fonction f

a. Montrer que f est dérivable sur ]0 ;+∞[ et calculer f ′(x).

b. Établir que, pour tout nombre réel x> 0,

g (x)6 ln(1+ x)− 1

1+ x

Grâce à (2), en déduire le sens de variation de f .

4. Étude de f aux bornes de l’intervalle de définition

a. Déterminer la limite de f (x) lorsque x tend vers +∞.

b. Prouver que :

lim x→0

x− ln(1+ x)

x2 =

1

2 (3)

À cet effet, on notera que (2) fournit un encadrement de ln(1+ x) et on en déduira un encadrement de x− ln(1+ x).

c. En déduire que f est dérivable en 0 et calculer f ′(0).

Donner une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0 et, grâce à (1), préciser la position de C par rapport à T.

5. Dresser le tableau de variations de f et tracer la courbe C et la droite T.

Paris - Créteil - Versailles 2 juin 1988

Le baccalauréat de 1988 A. P. M. E. P.

B L’objet de cette partie est d’étudier la suite (un )n>0 de nombres réels définie par les relations :

un+1 = ln(1+un ) si n> 0 etu0 = c,

c est un nombre réel strictement positif donné.

1. Convergence de la suite (un )n>0

a. Prouver que, pour tout entier n > 0, un > 0 et que la suite (un )n>0 est décroissante.

b. Montrer que cette suite converge.

Établir que sa limite est nulle (on pourra utiliser les variations de f ).

c. Onprend c = 1. À l’aide de la calculatrice, obtenir des valeurs approchées de u10, u50 et u100.

Que peut-on conjecturer pour la limite de nun lorsque n tend vers +∞ ?

2. Encadrement de (un )

À partir de cette question, on prend c = 1. Pour tout entier n> 0 on pose

vn = 1

un .

a. Exprimer vn+1−vn en fonction deun . En déduire, à l’aide de (3), la limite de vn+1− vn .

b. Prouver que, pour tout nombre réel x appartenant à ]0 ; 1],

1

2 −

3

16 x 6

1

ln(1+ x) −

1

x 6

1

2 .

À cet effet, on pourra utiliser (2) en établissant d’abord que :

1

2 +

1

x

1

ln(1+ x) =

(2+ x)g (x)

2x ln(1+ x) 6

(2+ x)2

4x2 g (x).

c. En déduire que , pour tout entier n> 0,

1

2 −

3

16 un 6 vn+1− vn 6

1

2 (4)

puis que :

1

4 6 vn+1− vn 6

1

2 (5)

d. En effectuant la somme des inégalités (5), encadrer vn v0.

En déduire que pour tout entier n> 0

2

n+2 6un 6

4

n+4 (6)

e. Déterminer enfin la limite de nun lorsque n tend vers+∞. À cet effet, on établira la majoration :

1

4 + 1

5 +·· ·+

1

n+3 6 ln(n+3)

et on encadrera vn v0 grâce à (4).

Paris - Créteil - Versailles 3 juin 1988

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