Géométrie algorithmique – exercices – 12, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Géométrie algorithmique – exercices – 12, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie algorithmique – exercices – 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'homothétie, la courbe représentative.
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[ Baccalauréat C Polynésie juin 1988 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Dans un plan P, on considère trois points A, B, C non alignés. On note I, J, K les milieux respectifs de [BC, [CA], [AB], et G l’isobarycentre de (A, B, C). Pour tout point M du plan, on note P, Q et R les symétriques de M par rapport à I, J et K. On se propose de prouver que les segments [AP], [BQ] et [CR] ont le même milieu, noté O, et que les points M, G et O sont alignés.

1. Placer les points et les segments précédents sur une figure.

2. Montrer qu’il existe une homothétie h1 et une seule transformant A, B, C en I, J, K respectivement et déterminer cette homothétie.

3. Déterminer l’homothétie h2 transformant (I, J, K) en (P, Q, R).

4. Préciser la nature de f = h2 ◦h1. Conclure.

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans le plan orienté, on considère deux points distincts A et B. Sur la figure, on prendra 6 cm comme longueur du segment [AB].

1. Étudier et construire l’ensemble E des points M du plan MA tels que MA

MB = 3.

2. Étudier et construire l’ensemble E′ des points M du plan tels que (

−−→ MA ,

−−→ MB

)

=

π

3 (modulo 2π).

3. Soit C l’image de B par la rotation de centre A et dont l’angle admet pour me-

sure 2π

3 et D le point tel que

−−→ AD =

2

3

−−→ AB .

On désigne par s la similitude directe transformant A en B et C en D.

a. Déterminer le rapport et l’angle de s.

b. On note I le centre de la similitude s.

Exprimer IB en fonction de IA et donner une mesure de l’angle (

−→

IA , −→

IB )

.

En déduire la position du point I et le placer sur la figure.

c. Démontrer que I appartient au cercle circonscrit au triangle ACD. (Onne demande pas de tracer ce cercle.)

PROBLÈME 11 POINTS

Le problème a pour objectif d’étudier le comportement des primitives successives de la fonction logarithme. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (unité gra- phique : 1 cm).

A. Étude d’un exemple

1. Soit f0 la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f0(x)= lnx.

a. Rappeler brièvement l’allure de la courbe représentative de cette fonc- tion.

b. En effectuant une intégration par parties, calculer

x

1 ln t dt .

Le baccalauréat de 1988 A. P. M. E. P.

c. Soit f1 la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par

f1(x)= x(lnx −1).

Montrer que f1 est l’unique primitive de f0 admettant 0 pour limite en 0.

2. Soit f 2 la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par

f2(x)= x2

2

(

lnx − 3

2

)

.

a. Calculer la dérivée de f2

b. Déterminer les limites de f2 en 0 et en +∞.

c. On prolonge f2 par continuité en 0 ; montrer que la fonction g ainsi ob- tenue est dérivable en 0.

d. Dresser le tableau de variations de g .

e. Préciser la tangente T à la courbe représentative C de g au point A d’abs- cisse 1. Étudier la position relative de C et de T. À cet effet, on précisera le signe de la fonction h définie sur ]0 ; +∞[ par

h(x)= g (x)+ x − 1

4 .

en étudiant sa dérivée h′ et sa dérivée seconde h′′.

f. Construire la courbe C , la tangente T ainsi que les tangentes aux points où C rencontre (Ox).

B. Étude du cas général

Soit (an ) et (bn) deux suites de nombres réels, et, pour tout entier naturel n, la fonc- tion ϕn définie sur ]0 ; +∞[ par

ϕn(x)= x n [an lnx bn ] .

1. On suppose que ϕ0(x) = lnx (c’est-à-dire que a0 = 1 et b0 = 0) et que, pour tout entier n > 0, ϕn+1 =ϕn .

a. Expliciter les relations de récurrence reliant an+1 et bn+1 à an et bn .

b. Calculer an .

c. On pose αn = n!bn ; calculer αn+1−αn , en déduire αn .

d. Prouver finalement que, nécessairement, pour tout entier n > 1,

ϕn(x)= xn

n!

[

lnx

(

1+ 1

2 +

1

3 +·· ·+

1

n

)]

(1)

2. On définit désormais ϕn par la relation (1), pour n > 1.

a. Contrôler que ϕn satisfait aux conditions de la question 1.

b. Expliquer pourquoi ϕ1 = f1 et ϕ2 = f2.

c. Prouver que, pour tout entier p > 1,

1

p +1 6

p+1

p

1

t dt 6

1

p .

En déduire que

lnn 6 1+ 1

2 +

1

3 +·· ·+

1

n 6 lnn+1.

d. Montrer enfin que, sur ]0 ; +∞[, ϕn s’annule en un point xn et un seul, et que n 6 xn 6 ne.

Polynésie 2 juin 1988

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