Géométrie algorithmique – exercices – 13, Exercices de Géométrie Algorithmique. Université Bordeaux I
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Géométrie algorithmique – exercices – 13, Exercices de Géométrie Algorithmique. Université Bordeaux I

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Géométrie algorithmique – exercices – 13 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer et construire l’ensemble F des points M, Préciser la nature de D.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Pondichéry avril 1988 \

EXERCICE 1 5 points

1. Soit P le polynôme de la variable complexe z défini par

P (z)= z3− (3+4i)z2−3(1−4i)z +9.

a. Calculer P (3).

b. Montrer que P (z) peut se mettre sous la forme (z − 3)Q(z) où Q est un polynôme que l’on déterminera.

c. On pose z = Z +2i et Q(z)=Q1(Z ).

Déterminer le polynôme Q1 puis résoudre dans C l’équation Q1(Z )= 0.

d. En déduire les solutions dans C de l’équation P (z)= 0.

2. On note z1, z2, z3 ces solutions de façon que :

Im(z1)< Im(z2)< Im(z3) ;

on désigne par B, C, D leurs images respectives dans le plan complexe. On considère en outre le point A d’affixe z0 = 2− i.

a. Placer les points A, B, C et D sur une figure.

b. Soit S la similitude directe plane qui transforme A enC et B enD.Donner, sous forme complexe, l’expression de cette similitude. Préciser le centre I, le rapport et l’angle de S.

c. Déterminer les images par S des points C et D.

3. Soit H = S S S S la composée de quatre similitudes identiques à S.

Préciser la nature de H et ses éléments caractéristiques.

EXERCICE 2 6 points

Soit (P) une parabole de foyer F et de directrice (D).

1. On choisit un repère orthonormé (Ox, Oy) tel que F ait pour coordonnées (2 ; 0) et (D) pour équation x =−2.

(Pour faire la figure on choisira une unité mesurant deux centimètres.)

Écrire une équation cartésienne de la parabole (P).

2. Soit m un réel donné et T le point de la parabole (P) d’ordonnée m et d’abs- cisse x.

a. Exprimer x en fonction de m.

b. Donner une équation de la tangente à (P) en T en fonction de m.

c. Montrer que, si T et T′ sont des points distincts de (P) d’ordonnées res- pectives m et m′, les tangentes à (P) en T et T′ sont sécantes ; soit I leur point d’intersection ; déterminer les coordonnées de I en fonction de m et m′.

3. m décrivant R,

a. Quel est l’ensemble des points I tels que les tangentes à (P), (IT) et (IT′) soient orthogonales ?

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Montrer que si (IT) et (IT′) sont orthogonales,

F appartient à la droite (TT′), (IF) est orthogonale à (TT′)

et que, K et K′ étant les projections orthogonales de T et T′ sur la droite (D), IK = IK′ = IF.

En déduire que K et F sont symétriques par rapport à la droite (IT).

PROBLÈME 9 points

1. On se propose de résoudre l’équation différentielle :

y ′+ y = x +1 (E),

y étant une fonction réelle de la variable réelle x et y ′ sa dérivée.

a. On pose z = y x ; écrire l’équation différentielle (F) satisfaite par z.

b. Résoudre (F), puis (E).

c. Trouver la solution de (E) qui prend la valeur 1 pour x = 0.

2. Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= x +e−x .

a. Étudier les variations de f

b. En vue de construire la courbe (C ) représentative de la fonction f dans un repère orthonormé dont l’unité mesure 2 centimètres :

– Montrer que (C ) possède une asymptote (x tendant vers+∞) en donner une équation et préciser la position de (C ) par rapport à cette asymptote.

– Construire les points de (C ) d’abscisses −1 et 0 et les tangentes à (C ) en ces points.

c. Tracer la courbe (C ).

3. On désigne par A (λ) l’aire en cm2 de la partie du plan limitée par (C ) et par les droites d’équations : y = x, x = 0 et x = λ λ est un paramètre réel positif.

a. Calculer A (λ).

b. L’aire A (λ) tend-elle vers une limite quand λ tend vers l’infini ? Si oui, laquelle ?

4. On revient à l’équation différentielle (E) de la première question et on appelle la solution de (E) telle que (0)=α et (Cα) la courbe représentative de α est un paramètre réel donné.

a. Étudier les variations de et donner l’allure de (Cα) dans les trois cas :

α< 0, α= 0, α> 0.

b. Montrer que, pour toutα, la tangente à (Cα) au point d’abscisse−1 passe par l’origine des axes.

c. Plus généralement, montrer que toutes les tangentes aux courbes (Cα) en un point d’abscisse x0 donnée se coupent sur (Cα

Pondichéry 2 avril 1988

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