Géométrie algorithmique – exercices – 14, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Géométrie algorithmique – exercices – 14, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie algorithmique – exercices – 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Tracer la courbe représentative C de f, Interpréter graphiquement l'intégrale.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Polynésie juin 1991 \

EXERCICE 1 4 points

Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par :

f (x)= sinπx.

1. a. Tracer la courbe représentative C de f (unité graphique 8 cm).

b. Calculer :

I =

∫1

0 sinπx dx.

c. Interpréter graphiquement cette intégrale.

2. Pour tout entier naturel n> 2, on pose :

Sn = 1

n

[

f (0)+ f

(

1

n

)

+ f

(

2

n

)

+·· ·+ f

(

n−1

n

)]

a. Interpréter graphiquement Sn en introduisant les rectangles Rk de base [

k

n ; k+1

n

]

et de hauteur k

n où 06 k 6 n−1. Faire la figure lorsque n = 8.

b. Prouver que :

1+e iπ n +e

2iπ n +·· ·+e

(n−1)iπ n =

2

1−e iπ n

.

c. En déduire que :

sin π

n + sin

2π

n +·· ·+ sin

(n−1)π

n =

cos π2n sin π2n

.

d. Prouver finalement que :

lim n→+∞

Sn = 2

π .

3. Comparer les résultats des questions 1. et 2. et interpréter graphiquement.

EXERCICE 2 5 points

Dansunplanorienté, on considère un triangle rectangle ABC tel que l’angle (

−−→ CA ,

−−→ CB

)

mesure + π

2 .

La hauteur issue de C coupe (BA) en H et coupe la parallèle à (BC) menée par A en D. On pose CA = b et BC = a.

1. Soit s la similitude directe transformant C en A et B en C.

a. Déterminer son rapport en fonction de a et b et calculer son angle.

b. En utilisant cet angle, démontrer que le centre de s est le point H.

c. Quelle est l’image de A par s ?

2. En utilisant s, démontrer l’égalité : HC2 = HA×HB.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Soit I le milieu de [BC], J le milieu de [CA] et K le milieu de [AD].

Démontrer que le triangle IJK est rectangle en J et que dans ce triangle H est le pied de la hauteur issue de J.

PROBLÈME 11 points

A. Une représentation paramétrique de la cardioïde

Dans un plan rapporté à un repère orthonormal d’origine 0, on se propose d’étudier la courbe Γ décrite par le point P d’affixe

z = (1+cosθ)eiθ pour θdans [−π ; π].

1. Déterminer la partie réelle f (θ) et la partie imaginaire g (θ) de z.

Étudier la parité des fonctions f et g , en déduire que la courbe Γ admet un axe de symétrie que l’on précisera.

On appellera Γ1 la partie de Γ qui correspond à 06 θ6π.

2. f ′ et g ′ étant les dérivées de f et g , montrer que

f ′(θ) = −sinθ(1+2cosθ) g ′(θ) = cos2θ+cosθ.

3. Soit −→ t le vecteur de coordonnées

(

f ′(θ) ; g ′(θ) )

.

a. Montrer que −→ t est un vecteur directeur de la tangente en P à Γ1, sauf

pour une valeur de θ que l’on précisera.

b. L’arc Γ1 coupe l’axe des ordonnées en un point I autre que O.

Calculer l’ordonnée de I et déterminer la tangente à Γ en I.

c. Déterminer les points de l’arc Γ1 pour lesquels le vecteur −→ t dirige un des

axes de coordonnées.

4. On suppose ici que θ vérifie : π

2 < θ < π.

Soit α le coefficient directeur de la droite (OP).

Montrer que : α= tanθ. En déduire la tangente en O à Γ.

5. Déduire des questions précédentes le tableau de variations coordonnées des fonctions f et g (θ ∈ [O ; π]).

En prenant 4 cm pour unité, construire Γ1 puis Γ. On placera avec soin les points et les tangentes étudiés ci-dessus.

B. Cercle de cardioïde

On désigne par C le cercle de diamètre [OA], où A est le point d’affixe 1.

1. Soit M le point d’affixe cosθeiθ. Montrer que le point M est sur le cercle C quelle que soit la valeur de θ réel.

2. On suppose maintenant que M a pour affixe :

zM = cose iθ avec −π6 θ6π

et on lui associe le point P tel que le vecteur −−→ MP ait pour affixe : z−−→

MP = eiθ.

Vérifier que le point P est sur la courbe Γ définie au début du problème. Mon- trer que les points 0, M et P sont alignés. Calculer la longueur MP. En déduire une construction point par point de Γ. (On distinguera les cas cosθ > 0 et cosθ < 0.)

Désormais, θ est fixé.

Polynésie 2 juin 1991

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Les points M et P étant ceux de la question précédente, on considère la trans-

lation t de vecteur −−→ MP .

Montrer que l’image par t du cercle C est un cercle C ′.

Déterminer son centre et son rayon et montrer que C et C ′ sont tangents au point T d’affixe :

zT = 1+eiθ

2 .

4. Montrer qu’il existe une symétrie orthogonale s qui transforme C en C ′.

On suppose M 6=O, soit s1 la symétrie orthogonale transformant O enM .

Justifier que l’on a P = t s1(O) et en déduire que P est l’image de O par s.

5. On suppose θ 6= π, montrer le vecteur −→ t défini dans la première partie est

orthogonal au vecteur −−→ TP . Déduire de cette étude une nouvelle construction

de Γ et de ses tangentes.

Effectuer cette construction dans le cas où θ = π

4 .

Polynésie 3 juin 1991

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