Géométrie algorithmique – exercices – 16, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Géométrie algorithmique – exercices – 16, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie algorithmique – exercices – 16. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le milieu du segment [AD], les points O, I et J alignés.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Sportifs de haut-niveau \ septembre 1991

EXERCICE 1 4 points

Le but de cet exercice est de montrer l’alignement de certains points d’une figure géo-

métrique.

Soit A et B deux points du plan, O le milieu du segment [AB], et (C1) l’un des deux

demi-cercles de diamètre [AB].

La médiatrice de [AB] coupe (C1) en I.

Soit (C2) le cercle de centre 1 et de rayon IA. La demi-droite issue deO et passant par

I coupe (C2) en D. La droite (DB) recoupe (C1) en K.

1. a. Faire une figure sur la copie et comparer les angles ÂIB et ADB. b. Montrer que le triangle DKA est isocèle, en précisant la mesure de ses

angles.

2. Soit J le milieu du segment [AD].

Montrer que les points K, I et J sont alignés.

3. Soit s la similitude de centre A qui transforme O en I.

On appelle L le point dont l’image par s est J. Déterminer L.

4. Montrer que les points O, I et J sont alignés.

EXERCICE 2 4 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

Soit f l’application du plan privé du point O dans le plan, qui, au point M d’affixe

z = reiθ (r > 0) associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = z− 1

z .

1. Calculer les coordonnées x′ et y ′ deM ′ en fonction de r et θ.

2. a. Montrer que lorsque M décrit le cercle (C ) de centre O et de rayon 2, M

décrit une ellipse (E ).

b. Déterminer les sommets et les foyers de (E ).

c. Représenter (E ) avec ses foyers sur la copie.

PROBLÈME 12 points

Soit f la fonction définie pour tout x réel par :

f (x)= 2x2e x 2 .

On note (C ) sa représentation graphique dans un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→

) .

L’unité graphique est le centimètre.

Partie A Tracé de (C ) et calcul d’aire

1. a. Déterminer les limites de f en +∞ et en −∞.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Construire le tableau de variations de f .

c. Sur la feuille de papier millimétré, tracer avec soin la courbe (C ) pour −106 x 6 2.

2. Déterminer l’aire, en cm2, du domaine plan, ensemble des pointsM(x ; y) tels que :

{ −10 6 x 6 0

0 6 y 6 f (x).

(On pourra faire deux intégrations par parties successives.) On donnera le ré-

sultat à 10−2 près.

Partie B Recherche de la solution positive de l’équation f (x) = 2

1. Montrer que l’équation (E) :

f (x)= 2

admet trois solutions, dont une seule, notée α, est positive. Justifier que

06α6 1.

2. On pose g (x)= e− x 4 .

a. Montrer que pour x positif l’équation (E) est équivalente à l’équation :

x = g (x).

b. Montrer que pour tout x appartenant à l’intervalle I = [0 ; 1], g (x) appar- tient aussi à I.

c. Démontrer quepour tout x de I, (g (x)−α) et (xα) sont de signes contraires.

d. On désigne par g ′ la dérivée de g . Montrer que pour tout x appartenant à I :

∣∣g ′(x) ∣∣6 1

4 .

3. Soit (un ) la suite définie par u0 = 1 et un+1 = g (un) pour n> 0.

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n, un appartient à I.

b. En appliquant l’inégalité des accroissements finis à g , prouver que pour tout n on a :

|un+1−α|6 1

4 |un α|6

( 1

4

)n+1 .

c. Conclure, quant à la convergence de (un ).

4. On se propose de calculer une valeur approchée de α.

a. Déterminer un entier p pour lequel up est une approximation de α à 10−3 près. Calculer la valeur correspondante up .

b. Le nombre up est-il inférieur ou supérieur à α ? On pourra utiliser la question 2. c. pour justifier la réponse.

Sportifs de haut-niveau 2 septembre 1991

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