Géométrie algorithmique – exercices – 2, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Géométrie algorithmique – exercices – 2, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie algorithmique – exercices – 2 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la constante indépendante de M, l’ensemble des points M du plan.
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[ Baccalauréat C Amérique centrale juin 1988 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Le plan (P ) est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. On considère l’en-

semble (E ) des points M de (P ) de coordonnées (x ; y) vérifiant l’équation

(1) 25 (

x2+ y2 )

= (3x−16)2 .

1. En interprétant géométriquement l’équation (1) démontrer que (E ) est une

conique de foyer O et de directrice la droite (∆) d’équation x = 16

3 . Donner la

nature et l’excentricité de (E ).

Dans toute la suite de l’exercice, M désigne un point de (E ) et θ une détermi-

nation de l’angle de vecteurs (

−→ u ,

−−−→ OM

)

.

2. a. Déduire de l’équation (1) une relation du premier degré entre OM et l’abscisse x de M .

b. Démontrer que OM = 16

5+3cosθ .

3. On suppose ici que θ appartlent à ]

π

2 ; π

2

[

.

La droite (OM) coupe (∆) en I et recoupe (E ) en un point M ′.

a. Démontrer que 1

OM +

1

OM ′ est une constante indépendante deM .

b. Démontrer que 1

OM

1

OM ′ =

2

OI .

EXERCICE 2 4 POINTS

On considère dans le plan orienté (P ), deux points distincts A et B. Pour tout point

M de (P ), on appelle M ′ l’image deM dans la rotation rA de centre A, d’angle − π

3 et

M ′′ l’image deM dans la rotation rB de centre B, d’angle 2π

3 .

1. De l’étude de rB ◦ (rA)−1, déduire que pour tout point M de (P ), le milieu de [M M ′′] est un point fixe J dont on démontrera qu’il appartient au cercle de diamètre [AB].

2. Le but de cette question est de déterminer l’ensemble des points M pour les- quels M , M ′, M ′′ sont alignés.

a. Pour tout point M de (P ) distinct de A et B, démontrer que

(−−−−→ MM ′ ,

−−−−→ MM ′′

)

=

(

−−→ MA ,

−−→ MB

)

π

2 modulo2π.

b. En déduire l’ensemble des points M du plan tels que M , M ′, M ′′ soient alignés.

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

On considère la fonction numérique g définie sur I = [−1 ; +∞[ par :

g (x)= ln(1+ x)− x+ x2

2 −

x3

3 .

Le baccalauréat de 1989 A. P. M. E. P.

1. a. Démontrer que pour tout t de I on a : t3

g ′(t)=− t3

1+ t .

b. En déduire que pour tout t de I on a ∣

g ′(t) ∣

∣6 2|t |3.

c. Par application de l’inégalité des accroissements finis, déduire de ce qui précèdequepour tout x de 1ona |g (x)|6 2x4 [onpourra distinguer deux cas suivant le signe de x].

Partie B

Soit f la fonction numérique définie sur ]−1,+∞[ par

f (x) = x− ln(1+ x)

x2 si x 6= 0

f (0) = 1

2

On note (C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère ortho-

normal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. En utilisant les encadrements obtenus au A., démontrer que la fonction f est dérivable en zéro et préciser une équation cartésienne de la tangente au point d’abscisse 0 à la courbe (C ).

2. Soit h la fonction numérique définie sur ]−1 ; +∞[ par :

h(x)= −x2−2x

1+ x +2ln(1+ x).

a. Étudier le sens de variationdeh (onnedemandepas d’étude auxbornes).

b. Préciser h(0). En déduire le signe de h(x) sur ]−1 ; +∞[.

3. Calculer f ′(x) pour x appartenant à ]−1 ; O[∪]0 ; +∞[ et l’exprimer à l’aide de h(x).

En déduire le sens de variation de f .

4. Étudier les limites de f en −1 et +∞.

5. Construire avec soin la courbe (C ) en précisant ses asymptotes (on prendra 2 cm pour unité).

Partie C

1. a. Démontrer que, pour tout réel t positif ou nul, on a :

t2 6 h′(t)6 0.

b. Pour tout réel x positif ou nul, en déduire par intégration, un encadre-

ment de h(x) et démontrer que ∣

f ′(x) ∣

∣6 1

3 .

2. Soit φ la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par φ(x)= f (x)− x.

De l’étude des variations de φ, déduire que l’équation f (x) = x admet une seule solution réelle strictement positive notée a.

Vérifier que a < 1.

Partie D

1. On pose u0 = 1 et un+1 = f (un ) pour tout entier naturel n. Montrer par ré- currence sur n, en utilisant le sens de variation de f , que cette suite est bien définie et que, pour tout entier naturel n, on a : 06 un 6 1.

Amérique centrale 2 juin 1988

Le baccalauréat de 1989 A. P. M. E. P.

2. a. Démontrer, en appliquant à f l’inégalité des accroissements finis, que pour tout entier naturel n on a :

|un+1−a|6 1

3 |un a| .

En déduire que :

|un a|6 1

3n .

b. Prouver que la suite (un )n∈N converge et préciser sa limite.

c. En déduire, en justifiant, une valeur de n pour laquelle un constitue une valeur approchée de a à 10−3 près. Préciser cette valeur approchée.

Amérique centrale 3 juin 1988

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