Géométrie algorithmique – exercices – 3, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Géométrie algorithmique – exercices – 3, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie algorithmique – exercices – 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les équations différentielles, les points de coordonnées respectives.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1988 \

EXERCICE 1 4 points

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On considère l’application f de P dans P qui au point M d’affixe z associe le point M′ d’affixe z ′ tel que

z ′ = 2z+ izz.

1. Déterminer et construire l’ensemble des images des points d’ordonnée nulle.

2. Déterminer et construire l’ensemble des images des points d’abscisse nulle.

3. Déterminer et construire l’ensemble des images des points du cercle de centre O et de rayon 1.

EXERCICE 2 4 points

Soit E l’espace muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

.

Soit P1 le plan d’équation xy p 3+

p 3= 0 et P2 le plan d’équation x

p 3− y +1= 0.

Désignant par sP1 (resp. sP2 ) la symétrie orthogonale par rapport au plan P1 (resp. P2), on se propose de déterminer f = sP2 ◦ sP1 .

1. Déterminer

a. D1 = P1∩ (xOy) ;

b. D2 = P2∩ (xOy).

(on pourra faire une figure dans le plan xOy).

2. Déterminer, dans le plan xOy muni du repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→

)

une mesure de l’angle (−→ u1 ,

−→ u2

)

où −→ u1 (resp.

−→ u2 ) est un vecteur directeur de

D1 (resp. D2).

En déduire la nature et les éléments caractéristiques de

f = sP2 ◦ sP1

PROBLÈME 12 points

Les parties A et B sont indépendantes

On se propose, dans ce problème, de résoudre des équations du 3e degré, de la forme

x3+ax2+bx+1= 0.

Partie A

On donne a = 5,45, b =−4,84. L’équation correspondante est notée (E1).

1. Étudier les variations de f :R→R

x 7−→ x3+5,45x2 −4,84x+1.

En déduire que (E1) admet une solution négative notée x1 et une solution double positive notée x2.

Terminale C A. P. M. E. P.

2. Donner les valeurs exactes de x1 et x2.

3. Le plan est rapporté à un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

avec pour unité de lon-

gueur le centimètre et ∥

−→ ı

∥= 1, ∥

−→

∥= 0,25.

a. Construire la courbe représentative C1 de f .

b. Calculer l’aire en cm2 du domaine plan, ensemble des points M(x ; y) tels que :

{

x1 6 x 6 x2 0 6 y 6 f (x)

On donnera le résultat en cm2 au mm2 près par défaut.

Partie B

On donne a =−1, b = 3. L’équation correspondante est notée (E2).

1. Démontrer que (E2) a une solution réelle unique notée α.

2. On pose g (x)= x3− x2+3x+1.

A l’aide de votre calculatrice, déterminer l’entier relatif k tel que

k

10 <α<

k+1

10

3. Démontrer que g (x)= 0 équivaut à x = x2−1

x2+3 .

Étudier la fonction h :R→R, x 7−→ x2−1

x2+3 .

Construire sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère ortho- normal.

4. On définit pour tout n ∈N la suite (un ) par

{

u0 = 0 un+1 = h (un )

a. Calculer u1, u2 et u3 et classer u0, u1, u2 et u3 dans l’ordre croissant.

b. Démontrer que si (un ) converge, sa limite est solution de (E2).

c. Démontrer que pour tout entier naturel n, − 1

3 6un 6 0.

d. Pour tout p élément deN on pose

vp = u2p wp = u2p+1

Sachant que h est décroissante sur

[

− 1

3 ; 0

]

, donner le sens de variation

de h h sur cet intervalle.

En déduire que (

vp )

est décroissante et (

wp )

croissante.

e. Prouver que pour − 1

3 6 x6 0,

h′(x) ∣

∣6 8

27 .

En déduire que ∣

wp+1− vp+1 ∣

∣6

(

8

27

)2 ∣

wp vp

∣. En conclure que la suite

(un ) converge.

f. Calculer une valeur approchée de α à 10−3 près (on mettra en évidence la méthode choisie).

Amérique du Nord 2 juin 1988

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