Géométrie algorithmique – exercices – 4, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Géométrie algorithmique – exercices – 4, Exercices de Géométrie Algorithmique

PDF (39.7 KB)
2 pages
259Numéro de visites
Description
Géométrie algorithmique – exercices – 4 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'équation cartésienne, l’étude des variations d’une fonction.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
AmeriqueSudCnovembre1988.dvi

[ Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1988 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Dans le plan P on considère le triangle équilatéral ABC. On pose AB = BC = CA = a, a > 0.

1. Construire le point G barycentre du système (A, 2), (B, 1), (C, 1).

2. Déterminer et construire chacun des deux ensembles suivants :

a. E1 = {

M ∈P /2MA2+MB2+MC2 = 2a2 }

.

b. E2 =

{

M ∈P /2 −−→ MA 2+

−−→ MA ·

−−→ MB +

−−→ MA ·

−−→ MC =

3a2

2

}

.

Pour ce dernier ensemble, on pourra utiliser le point G puis le milieu I du segment [AG].

EXERCICE 2 6 POINTS

Dans le plan P muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

un point M quel-

conque de coordonnées (x ; y) a pour affixem,m ∈ C ; on note |m| le module dem etm le conjugué dem.

1. On considère la courbe E dont une équation cartésienne dans P est :

x2+5y2 = 1.

Déterminer la nature géométriquedeE et ses éléments caractéristiques (centre, axes, sommets).

Tracer E dans le plan P (unité : 6 cm).

2. SoitΩ l’application de P dans P qui, à tout point M d’affixem, associe M′ d’af- fixeω(m) définie par :

ω(m)= |m|+ (

mm )

.

On note E′ l’image de E parΩ.

a. Calculer les coordonnées x′ et y ′ de M′ en fonction de x et y , coordon- nées deM.

Calculer |w(m)|2 en fonction de x et y , en déduire que E est l’ensemble des pointsMdeP tels que |w(m)| = 1 et queE′ est contenuedans le cercle C de centre O et de rayon 1.

b. Soit le point M′ de coordonnées (

x′ ; y ′ )

.

Montrer que M′ admet un ou deux antécédents par Ω si et seulement si les coordonnées deM′ vérifient les deux relations : x′ > 0 et ∣

y ′ ∣

∣6 2x′, caractériser géométriquement l’ensemble S ′ de ces pointsM′ ; en déduire que E′ est un arc du cercleC que l’on précisera .

PROBLÈME 10 POINTS

Les objectifs de ce problème sont l’étude des variations d’une fonction g et la construc- tion de sa courbe représentativeΓ.

Partie A

Le baccalauréat de 1989 A. P. M. E. P.

1. Soit la fonction

f1 : R∗+ → R x 7−→ x+1+ lnx.

On note Λ la courbe représentative de la fonction définie dans R∗+ par :

x 7−→ lnx dans le plan rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

a. Étudier les variations (sens de variations et limites aux bornes) de f1 et déterminer le signe de f1(x) suivant les valeurs de x dans R∗+ (on mon- trera en particulier que f1 s’annule en changeant de signe en un unique point x0 de R∗+) ;

b. Soit∆ la droite d’équation cartésienne x+y+1 = 0 ; tracer∆ etΛ (unité de longueur : 2 cm) ; vérifier que x0 (voir a.) est l’abscisse de l’unique point d’intersection de ∆ et Λ.

2. Soit la fonction

f2 : R∗+ → R x 7−→ 2x lnxx2+1,

étudier le sens de variations de f ′2 et de f2. (On ne demande pas l’étude du comportement de ces fonctions lorsque x tend vers 0 et lorsque x tend vers +∞.)

Calculer f2(1) et en déduire le signe de f2(x) suivant les valeurs de x dans R∗+.

Partie B

Soit g : R+ →R la fonction définie par 

g (0) = 0 et

g (x) = x lnx

x+1 pour tout x ∈R∗+.

On note Γ la courbe représentative de g dans le plan et D la tangente à Γ au point d’abscisse 1.

1. a. Montrer que g est continue sur R+ ; déterminer, si elle existe, la demi- tangente à Γ au point d’abscisse 0.

b. Étudier les variations de g , en utilisant A 1. a. ; vérifier que g (x0)=−x

2. Étudier les positions relatives de Λ et Γ. Soient M et M′ les deux points de Λ

et Γ demême abscisse x ; quelle est la limite deM′M lorsque x tend vers +∞ ? Interpréter géométriquement ce résultat.

3. En utilisant A 2., étudier la position relative de Γ par rapport à D.

4. Tracer D et Γ sur le graphique de A 1.

Amérique du Sud 2 novembre 1988

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome