Géométrie algorithmique – exercices – 5, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Géométrie algorithmique – exercices – 5, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie algorithmique – exercices – 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les équations des paraboles, les images, la courbe (C ) d’équation y = e−x.
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[ Baccalauréat C Centres étrangers 1 \ septembre 1988

EXERCICE 1 4 POINTS

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (

I ; −→

ı , −→

)

. Soit α un réel non nul. On

désigne par O1 le point de coordonnées (α ; 0) et par O2 le point de coordonnées (−α ; 0). P1(α) est la parabole de sommet I et de foyer O1, P2(α) est la parabole de sommet O1 et de foyer O2.

1. Montrer que les équations des parabolesP1 (α) etP2(α) dans le repère (

I ; −→

ı , −→

)

sont respectivement :

y2 = 4αx et y2 =−8αx+8α2 .

2. a. Déterminer les coordonnées des points d’intersectionMα etNα des deux paraboles P1(α) et P2(α). On désignera par Mα le point d’intersection dont l’ordonnée est du signe de α.

b. En déduire l’ensemble des points Mα et Nα lorsque α décrit R∗.

3. Montrer que P1(α) et P2(α) sont respectivement les images de P1(1) et P2(1) par l’homothétie de centre I et de rapport α.

En déduire que −−−→

IMα =α −−→

IM1 et −−→

INα =α −−→

IN1 et retrouver le résultat obtenu au 2. b.

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans l’espace orienté on considère un carré de sommets A, B, C, D et de centre O.

On désigne par E le point défini par −−→

OA ∧ −−→

OB = −−→

OE . Soit f une isométrie laissant globalement invariant l’ensemble {A, B, C, D, E}.

1. a. Montrer que les images par toute isométrie des points A, B, C, D sont coplanaires. En déduire que l’ensemble {A, B, C, D, E} est globalement invariant par f et montrer que E est invariant.

b. En remarquant que O est l’isobarycentre des points A, B, C, D montrer que O est invariant par f .

2. Si f est une rotation, quel est son axe ?

En déduire toutes les rotations laissant l’ensemble {A, B, C, D, E} globalement invariant.

3. Montrer que si f est une réflexion, son plan contient la droite (OE).

En déduire toutes les réflexions laissant l’ensemble {A, B, C, D, E} globalement invariant.

PROBLÈME 12 POINTS

Le plan est rapporté au repère orthonormal (

O, −→

ı , −→

)

.

Partie A

Distance du point A(1 ; 1) à la courbe (C ) d’équation y = e−x

1. Égypte, Liban, Israël, Éthiopie

Le baccalauréat de 1988 A. P. M. E. P.

1. Construire, sur la feuille de papier millimétré, la courbe (C ) en précisant les points d’abscisses 0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1 (unité : 5 cm ; le point A étant approxi- mativement au centre de la feuille).

2. Exprimer en fonction de l’abscisse x d’un point M de (C ) la distance d(x) de A à M.

Calculer la dérivée d ′ de la fonction d et montrer que pour tout réel x,d ′(x) est du signe de g (x)= e−x −e−2x + x−1.

3. Montrer que g est strictement croissante sur R et préciser le comportement de g(x) quand x tend vers plus l’infini et quand x tend vers moins l’infini. On pourra remarquer que e−x −e−2x = e−x (1−e−x ).

La représentation graphique de g n’est pas demandée.

4. Montrer que l’équation g (x) = 0 a une solution unique x0 dans R et que x0 appartient à ]ln2 ; 1[.

5. Montrer que la fonction d admet un minimum absolu en x0.

Dans la suite du problème on notera M0 le point de (C ) d’abscisse x0. Par définition la distance de A à (C ) est d0 =AM0 = d (x0).

6. Montrer que la tangente en M0 à la courbe (C ) est perpendiculaire à la droite (AM0).

Partie B

Évaluation de cette distance d0 On considère l’application h, de R dans R, définie par :

h(x)= e−2x −e−x +1.

On désigne par (Γ) la courbe représentative de h dans le repère (

O, −→

ı , −→

)

.

1. Évaluation graphique

a. Dresser le tableau de variations de h (on précisera le comportement de h(x) quand x tend vers plus l’infini et quand x tend vers moins l’infini).

b. Étudier la position relative des courbes (C ) et (Γ).

c. Construire (Γ) dans lemême repère que (C ) enprécisant les points d’abs- cisses 0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1.

d. Montrer que (Γ) coupe la droite d’équation y = x en un point H0 de même abscisse que M0 ; utiliser les courbes (C ) et (Γ) pour construire M0 et mesurer la distance d0 en utilisant une règle graduée.

2. Approximation de d0 On considère la suite définie par

{

U0 = 1 Un+1 = h (Un) pour tout n deN.

a. Montrer que pour tout x de [ln2 ; 1], h(x) appartient à [ln2 ; 1]. En dé- duire que pour tout n deN, Un appartient à [ln2 ; 1].

b. Montrer que la suite (Un) est décroissante. (On utilisera un raisonne- ment par récurrence.) En déduire que (Un) est convergente et montrer que sa limite est x0.

c. Donner une valeur approchée deU4 à 10−4 près, puis une valeur appro- chée de d (U4)·

Centres étrangers 2 septembre 1988

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