Géométrie algorithmique – exercices – 6, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Géométrie algorithmique – exercices – 6, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie algorithmique – exercices – 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer les trois premiers termes de la suite, En déduire que (un) est convergente, Résoudre le système.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C La Réunion juin 1988 \

EXERCICE 1

Soit θ un réel tel que : 06 θ6 π

2 .

La suite (un ) est définie par :

{

u0 = = 2cosθ un+1 =

p 2+un pour tout entier natureln.

1. Calculer les trois premiers termes de la suite en fonction de θ. (On rappelle que, pour tout réel x, on a : cos2x = 2cos2 x−1.)

2. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a :

un = 2cos

(

θ

2n

)

.

3. Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn = θ

2n .

Déterminer la limite de la suite (vn).

4. En déduire que (un ) est convergente ; quelle est sa limite ?

EXERCICE 2

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, on donne les

points A, B et C de coordonnées respectives (2 ; 0 ; 1), (3 ; −2 ; 0), (2 ; 8 ; −4). Aucune figure n’est demandée.

1. Un point M étant de coordonnées (x ; y ; z), exprimer en fonction de x, y et z

les coordonnées du produit vectoriel −−→ AM

−−→ BM .

2. Résoudre le système :

x+ y −2z = −4 −xy z = −11 2x+ y z = 8

On fera figurer les étapes de la résolution sur la copie.

3. Montrer qu’il existe un unique point N vérifiant −−→ AN

−−→ BN =

−−→ CN et donner les

coordonnées du point N .

4. On rappelle que le volumed’un tétraèdre s’obtient par la formuleV = 1

3 ×B×h

où B représente l’aire d’une base et h la hauteur correspondante.

Le point N étant défini à la question précédente, montrer que le volume du

tétraèdre ABCN est égal à 1

6 CN2.

EXERCICE 3

Pour chaque entier naturel n, on pose

un =

∫1

0

xn

1+2x+4x2 dx.

Terminale C A. P. M. E. P.

1. Montrer que l’on définit ainsi une suite (un ), chaque terme étant positif ou nul.

2. Étudier le sens de variation de la suite (un ).

En déduire qu’elle converge.

3. Déterminer un réel a vérifiant : 1

1+2x+4x2 6 a pour tout réel x de l’intervalle

[0 ; 1].

En déduire la limite de la suite (un ).

La Réunion 2 juin 1988

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