Géométrie algorithmique – exercices – 7, Exercices de Géométrie Algorithmique
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Eusebe_S10 April 2014

Géométrie algorithmique – exercices – 7, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie algorithmique – exercices – 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: construire l’intersection, En déduire l’ensemble des points M.
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[ Baccalauréat C Lille juin 1988 \

EXERCICE 1 4 POINTS

On donne dans le plan un pointO et une droite (∆) ne passant pas parO. On sepropose dedonner une constructionde l’intersectiond’unedroite (D) passant parO et non perpendiculaire à (∆) avec l’ellipse (E ) d’excentricité 12 , de foyerO et de directrice associée (∆). On note

−→ i un vecteur unitaire orthogonal à (∆) et

−→ j un vecteur unitaire de (D).

1. Pour tout pointM de (D), on définit deux points H etH ′ tels que −−−→ MH et

−−−→

MH

soient orthogonaux à (∆) et de norme égale à 2.MO.

Montrer que lorsque M décrit (D), H et H ′ décrivent deux droites (D1) et (D2)

passant parO, dont on précisera un vecteur directeur en fonction de −→ i et

−→ j .

2. L’une des deux droites (D1) et (D2) peut-elle être parallèle à (∆) ?

3. Utiliser les questions précédentes pour construire l’intersection de l’ellipse (E ) et de la droite (D).

Faire une figure soignée dans laquelle on prendra 4 cm pour la distance deO

à (∆) et π2 pour mesure de l’angle (

−→ ı ,

−→

)

. Il n’est pas demandé de construire

l’ellipse (E ).

EXERCICE 2 4 POINTS

On considère dans le plan (P ) orienté le losange AIBI ′ . Soit r la rotation de centre A qui transforme I en I ′. Le but de l’exercice est de déterminer l’ensemble des pointsM duplan tels queM , B et l’image M ′ deM par r soient sur une même droite.

1. Soit C le point dont l’image par r est B . Démontrer que C est sur le cercle de centre I et de rayon I A.

2. En supposant M distinct de B et deC , démontrer que M , B et M ′ sont alignés si, et seulement si,

( −−→ CM ,

−−→ CA )= (

−−→ BM ,

−−→ BA ) mod π.

3. En déduire l’ensemble des points M tels queM , B etM ′ soient sur unemême droite.

PROBLÈME 12 POINTS

On désigne par la fonction numérique définie sur R par :

(x)= 1−e −λx ,

λ est un réel strictement positif donné. On note () la courbe représentative de la fonction dans un plan rapporté à un

repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On définit enfin la suite numérique (un )n∈N par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n :

un+1 = (un ).

A) Dans cette partie on se propose d’étudier la famille des fonctions et la famille de courbes ().

Le baccalauréat de 1988 A. P. M. E. P.

1. Étudier le sens de variations de la fonction et préciser les limites de en −∞ et +∞.

2. a. Vérifier que la courbe () passe par l’origine O et écrire une équation de la tangente enO à ().

b. Soit M un point quelconque du plan, H son projeté orthogonal sur l’axe

des ordonnées (y y) etM ′ le point défini par la relation −−−→ HM =λ

−−−→

HM ′ .

Démontrer que M appartient à la courbe (C1) si et seulement si M ′ ap- partient à ().

c. Construire avec soin la courbe (C1), en prenant 2 cm comme unité, puis la courbe (C2) en appliquant le résultat du b.

3. On envisage ici l’étude de l’intersection de la courbe () et de la droite (∆) d’équation y = x.

Pour cela, on pose la fonction numérique définie sur R par :

(x)= (x)− x.

a. Dresser le tableaude variations de , enprécisant les limites aux bornes.

Démontrer que admet un maximum absolum(λ) ; exprimer en fonc- tion de λ la valeur de x telle que (x)=m(λ) et démontrer que

m(λ)= 1− 1

λ

lnλ

λ .

b. En remarquant que (0) = 0, établir que m(λ) est strictement positif si λ est différent de 1.

c. Déduire des questions précédentes le nombre de solutions réelles de l’équation (x) = 0 et leur signe (on discutera suivant la position de λ par rapport à 1).

Conclure quant à l’intersection de () et de (∆).

B. Dans cette partie, on fixeλ= 2 et on note x2 l’unique solution strictement positive de l’équation g2(x)= 0 étudiée dans la partie A. On se propose la recherche des valeurs approchées de x2 à l’aide de la suite (un )n∈N définie dans le préambule avec λ= 2.

1. Déterminer le signe de g2(1) et celui de g2(ln2). En déduire l’encadrement :

ln26 x2 6 1.

2. Démontrer par récurrence surn, en utilisant les variations de f2 , quepour tout entier naturel n, on a :

x2 6 un ≤ 1.

3. Calculer f ′2(ln2) et démontrer que, si x est supérieur ou égal à ln2, alors :

0≤ f ′2(x)6 1

2 .

En déduire que, pour tout entier naturel n, on a :

un+1− x2 6 (

u n x2).

Démontrer que, pour tout entier naturel n, l’inégalité :

un x2 6

(

1

2

)n

.

Lille 2 juin 1988

Le baccalauréat de 1988 A. P. M. E. P.

Prouver alors que la suite (un)n∈N converge vers x2.

Application numérique : déduire de l’étude précédente une valeur approchée décimale à 10−2 près de x2.

C. Dans cette partie, on fixe λ = 1 et on se propose d’étudier dans ce cas la suite (un)n∈N définie dans le préambule. On pourra utiliser le résultat suivant : g1(x) est strictement négatif pour tout réel x non nul.

1. Prouver que, pour tout entier naturel n, tous les termes de un sont strictement positifs et étudier le sens des variations de la suite (un)n∈N. En déduire que cette suite est convergente et calculer sa limite.

2. a. Pour tout réel x positif, démontrer que ex > x+1 et en déduire que :

f1(x)> x

x+1 .

b. En déduire que pour tout entier naturel n, on a :

un+1 > un

un +1 et que

1

un+1 6 1+

1

un .

c. Établir par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :

un 6 1

n+1 .

Lille 3 juin 1988

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