Géométrie algorithmique - exercitation sur l'arbre pondéré, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S15 April 2014

Géométrie algorithmique - exercitation sur l'arbre pondéré, Exercices de Géométrie Algorithmique

PDF (59.6 KB)
5 pages
577Numéro de visites
Description
Géométrie algorithmique - exercitation sur l'arbre pondéré. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Justifier que la probabilité de l’évènement C est égale à 0,525. Justifier que X suit une loi binomiale dont on...
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 5
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Metropole S 20 juin 2013.dvi

[ Baccalauréat S Métropole 20 juin 2013 \

EXERCICE 1 4 points

Commun à tous les candidats

Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35% des plants

proviennent de l’horticulteur H1, 25% de l’horticulteur H2 et le reste de l’horticulteur H3. Chaque horti-

culteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles.

La livraison de l’horticulteur H1 comporte 80% de conifères alors que celle de l’horticulteur H2 n’en

comporte que 50% et celle de l’horticulteur H3 seulement 30%.

1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.

On envisage les événements suivants :

H1 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H1 »,

H2 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H2 »,

H3 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H3 »,

C : « l’arbre choisi est un conifère »,

F : « l’arbre choisi est un arbre feuillu ».

a. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

b. Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur H3.

c. Justifier que la probabilité de l’évènement C est égale à 0,525.

d. L’arbre choisi est un conifère.

Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur H1 ? On arrondira à 10 −3.

2. On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose

que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec

remise de 10 arbres dans le stock.

On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.

a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ?

On arrondira à 10−3.

c. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte aumoins deux arbres feuillus ?

On arrondira à 10−3.

EXERCICE 2 7 points

Commun à tous les candidats

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le planmuni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

, la courbe

représentative C d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

A

BC

O

C

−→ ı

−→

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

On dispose des informations suivantes :

— les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1 , 0), (1 , 2), (0 , 2) ;

— la courbe C passe par le point B et la droite (BC) est tangente à C en B ;

— il existe deux réels positifs a et b tels que pour tout réel strictement positif x,

f (x)= a+b lnx

x .

1. a. En utilisant le graphique, donner les valeurs de f (1) et f ′(1).

b. Vérifier que pour tout réel strictement positif x, f ′(x)= (ba)−b lnx

x2 .

c. En déduire les réels a et b.

2. a. Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0,+∞[, f ′(x) a le même signe que − lnx.

b. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞. On pourra remarquer que pour tout réel x stricte-

ment positif, f (x)= 2

x +2

lnx

x .

c. En déduire le tableau de variations de la fonction f .

3. a. Démontrer que l’équation f (x)= 1 admet une unique solution α sur l’intervalle ]0,1]. b. Par un raisonnement analogue, ondémontre qu’il existe ununique réelβde l’intervalle ]1 ,+∞]

tel que f (β)= 1. Déterminer l’entier n tel que n <β< n+1.

4. On donne l’algorithme ci-dessous.

Variables : a,b etm sont des nombres réels.

Initialisation : Affecter à a la valeur 0.

Affecter à b la valeur 1.

Traitement : Tant que ba > 0,1

Affecter àm la valeur 1

2 (a+b).

Si f (m)< 1 alors Affecter à a la valeurm. Sinon Affecter à b la valeurm.

Fin de Si.

Fin de Tant que.

Sortie : Afficher a.

Afficher b.

a. Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l’on recopiera sur la

copie.

étape 1 étape 2 étape 3 étape 4 étape 5

a 0

b 1

ba m

b. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?

c. Modifier l’algorithme ci-dessus pour qu’il affiche les deux bornes d’un encadrement de β

d’amplitude 10−1.

5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe C partage le rectangle OABC en deux

domaines d’aires égales.

a. Justifier que cela revient à démontrer que

∫1

1 e

f (x)dx = 1.

b. En remarquant que l’expression de f (x) peut s’écrire 2

x +2×

1

x × lnx, terminer la démonstra-

tion.

Métropole 2 20 juin 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 3 4 points

Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse

choisie.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas

prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1. Proposition 1 : Dans le planmuni d’un repère orthonormé, l’ensemble des pointsM dont l’affixe

z vérifie l’égalité |z− i| = |z+1| est une droite.

2. Proposition 2 : Le nombre complexe (

1+ i p 3 )4

est un nombre réel.

3. Soit ABCDEFGH un cube.

Proposition 3 : Les droites (EC) et (BG) sont or-

thogonales.

A B

CD

E F

GH

4. L’espace est muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. Soit le plan P d’équation cartésienne

x+ y +3z+4= 0. On note S le point de coordonnées (1,−2,−2). Proposition 4 : La droite qui passe par S et qui est perpendiculaire au plan P a pour représenta-

tion paramétrique

x = 2+ t y =−1+ t z = 1+3t

, t R.

Métropole 3 20 juin 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soit la suite numérique (un ) définie sur N par :

u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = 2

3 un +

1

3 n+1.

1. a. Calculer u1,u2,u3 et u4. On pourra en donner des valeurs approchées à 10 −2 près.

b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

2. a. Démontrer que pour tout entier naturel n,

un 6 n+3.

b. Démontrer que pour tout entier naturel n,

un+1−un = 1

3 (n+3−un ) .

c. En déduire une validation de la conjecture précédente.

3. On désigne par (vn) la suite définie sur N par vn =un n.

a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 2

3 .

b. En déduire que pour tout entier naturel n,

un = 2 (

2

3

)n

+n

c. Déterminer la limite de la suite (un ).

4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose :

Sn = n

k=0 uk =u0+u1+ . . .+un et Tn =

Sn

n2 .

a. Exprimer Sn en fonction de n.

b. Déterminer la limite de la suite (Tn).

EXERCICE 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On étudie la population d’une région imaginaire. Le 1er janvier 2013, cette région comptait 250000 ha-

bitants dont 70% résidaient à la campagne et 30% en ville.

L’examendes données statistiques recueillies au cours deplusieurs années amène à choisir demodéliser

l’évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :

• l’effectif de la population est globalement constant, • chaque année, 5% de ceux qui résident en ville décident d’aller s’installer à la campagne et 1%

de ceux qui résident à la campagne choisissent d’aller habiter en ville.

Pour tout entier naturel n, on note vn le nombre d’habitants de cette région qui résident en ville au

1er janvier de l’année (2013+n) et cn le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

1. Pour tout entier naturel n, exprimer vn+1 et cn+1 en fonction de vn et cn .

2. Soit la matrice A = (

0,95 0,01

0,05 0,99

)

.

On pose X = (

a

b

)

a, b sont deux réels fixés et Y = AX .

Déterminer, en fonction de a et b, les réels c et d tels que Y = (

c

d

)

.

Métropole 4 20 juin 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Les résultats précédents permettent d’écrire que pour tout entier naturel n,

Xn+1 = AXn Xn = (

vn cn

)

. On peut donc en déduire que pour tout entier naturel n, Xn = AnX0.

3. Soient les matrices P = (

1 −1 5 1

)

etQ = (

1 1

−5 1

)

.

a. Calculer PQ etQP . En déduire la matrice P−1 en fonction deQ .

b. Vérifier que la matrice P−1AP est une matrice diagonale D que l’on précisera.

c. Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, An =PDnP−1. 4. Les résultats des questions précédentes permettent d’établir que

vn = 1

6

(

1+5×0,94n )

v0+ 1

6

(

1−0,94n )

c0.

Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à

long terme ?

Métropole 5 20 juin 2013

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome