Géométrie algorithmique - exercitation sur l’espace muni d’un repère orthonormé, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S15 April 2014

Géométrie algorithmique - exercitation sur l’espace muni d’un repère orthonormé, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie algorithmique - exercitation sur l’espace muni d’un repère orthonormé. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'équation cartésienne du plan, la représentation paramétrique de la droite.
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Amerique du Nord S 30 mai 2013.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Amérique du Nord \ 30 mai 2013

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé. On considère les points A(0 ; 4 ; 1), B (1 ; 3 ; 0), C(2 ; −1 ; −2) et D (7 ; −1 ; 4).

1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Soit ∆ la droite passant par le point D et de vecteur directeur −→ u (2 ; −1 ; 3).

a. Démontrer que la droite ∆ est orthogonale au plan (ABC).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆.

d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite ∆ et du plan (ABC).

3. Soit P1 le plan d’équation x + y + z = 0 et P2 le plan d’équation x +4y +2= 0.

a. Démontrer que les plans P1 et P2 sont sécants.

b. Vérifier que la droite d , intersection des plans P1 et P2, a pour représentation para-

métrique

x = −4t −2 y = t z = 3t +2

, t ∈R.

c. La droite d et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?

Exercice 2 5 points

Candidats N’AYANT PAS SUIVI l’enseignement de spécialité mathématiques

On considère la suite (un ) définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n,

un+1 = √

2un .

1. On considère l’algorithme suivant :

Variables : n est un entier naturel u est un réel positif

Initialisation : Demander la valeur de n Affecter à u la valeur 1

Traitement : Pour i variant de 1 à n : | Affecter à u la valeur

p 2u

Fin de Pour Sortie : Afficher u

a. Donner une valeur approchée à 10−4 près du résultat qu’affiche cet algorithme lorsque l’on choisit n = 3.

b. Que permet de calculer cet algorithme ?

c. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l’aide de cet algo- rithme pour certaines valeurs de n.

n 1 5 10 15 20 Valeur affichée 1,4142 1,9571 1,9986 1,9999 1,9999

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (un ) ?

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 0< un 6 2.

b. Déterminer le sens de variation de la suite (un ).

c. Démontrer que la suite (un) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

3. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = lnun − ln2.

a. Démontrer que la suite (vn) est la suite géométrique de raison 1

2 et de premier terme

v0 =− ln2.

b. Déterminer, pour tout entier naturel n, l’expression de vn en fonction de n, puis de un en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (un ).

d. Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de n telle que un > 1,999.

Variables : n est un entier naturel u est un réel

Initialisation : Affecter à n la valeur 0 Affecter à u la valeur 1

Traitement :

Sortie :

Exercice 2 5 points

Candidats AYANT SUIVI l’enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

On considère l’algorithme suivant :

Variables : a est un entier naturel b est un entier naturel c est un entier naturel

Initialisation : Affecter à c la valeur 0 Demander la valeur de a Demander la valeur de b

Traitement : Tant que a > b Affecter à c la valeur c +1 Affecter à a la valeur a b

Fin de tant que Sortie : Afficher c

Afficher a

1. Faire fonctionner cet algorithme avec a = 13 et b = 4 en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.

2. Que permet de calculer cet algorithme ?

Partie B

À chaque lettre de l’alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre 0 et 25.

A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Amérique du Nord 2 30 mai 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

On définit un procédé de codage de la façon suivante : Étape 1 : À la lettre que l’on veut coder, on associe le nombre m correspon-

dant dans le tableau. Étape 2 : On calcule le reste de la division euclidienne de 9m +5 par 26 et

on le note p. Étape 3 : Au nombre p, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

1. Coder la lettre U.

2. Modifier l’algorithme de la partie A pour qu’à une valeur de m entrée par l’utilisateur, il affiche la valeur de p, calculée à l’aide du procédé de codage précédent.

Partie C

1. Trouver un nombre entier x tel que 9x ≡ 1 [26].

2. Démontrer alors l’équivalence :

9m +5≡ p [26] ⇐⇒ m ≡ 3p −15 [26].

3. Décoder alors la lettre B.

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats

Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres

Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pe- sant en moyenne 400 grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non- commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercia- lisable. La masse d’un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance µ= 400 et d’écart-type σ= 11.

Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche

Partie A

On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.

x 380 385 390 395 400 405 410 415 420 P (X 6 x) 0,035 0,086 0,182 0,325 0,5 0,675 0,818 0,914 0,965

1. Calculer P (3906 X 6 410).

2. Calculer la probabilité p qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercia- lisable.

3. Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de σ sans modifier celle de µ.

Pour quelle valeur de σ la probabilité qu’un pain soit commercialisable est-elle égale à 96%? On arrondira le résultat au dixième.

On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 0 et d’écart-type 1, on a P (Z 6−1,751) ≈ 0,040.

Amérique du Nord 3 30 mai 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Partie B

Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d’obtenir 96% de pains commerciali- sables. Afin d’évaluer l’efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300 pains fabriqués.

1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 300.

2. Parmi les 300 pains de l’échantillon, 283 sont commercialisables. Au regard de l’intervalle de fluctuation obtenu à la question 1, peut-on décider que l’ob- jectif a été atteint ?

Partie C

Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.

1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de 0,913. En déduire la valeur de λ arrondie aumillième.

Dans toute la suite on prendra λ= 0,003.

2. Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu’elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours ?

3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu’il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?

Exercice 4 5 points

Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

f (x)= 1+ ln(x)

x2

et soitC la courbe représentative de la fonction f dansun repère duplan. La courbeC est donnée ci-dessous :

1

−1

1 2 3

C

O

Amérique du Nord 4 30 mai 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. a. Étudier la limite de f en 0.

b. Que vaut lim x→+∞

ln(x)

x ? En déduire la limite de la fonction f en +∞.

c. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe C .

2. a. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

Démontrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[,

f ′(x)= −1−2ln(x)

x3 .

b. Résoudre sur l’intervalle ]0 ; +∞[ l’inéquation −1−2ln(x)> 0.

En déduire le signe de f ′(x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

c. Dresser le tableau des variations de la fonction f .

3. a. Démontrer que la courbe C a un unique point d’intersection avec l’axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.

b. En déduire le signe de f (x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

4. Pour tout entier n > 1, on note In l’aire, exprimée en unités d’aires, du domaine délimité

par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations respectives x = 1

e et x = n.

a. Démontrer que 06 I2 6 e− 1

2 .

On admet que la fonction F , définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par F (x)= −2− ln(x)

x ,est

une primitive de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

b. Calculer In en fonction de n.

c. Étudier la limite de In en +∞. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

Amérique du Nord 5 30 mai 2013

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