Géométrie algorithmique - exercitation sur la fonction définie et dérivable, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S15 April 2014

Géométrie algorithmique - exercitation sur la fonction définie et dérivable, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie algorithmique - exercitation sur la fonction définie et dérivable. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Etudier le repère orthogonal, Étudier les variations, Calculer, en unité d’aire, l’aire de la ...
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Antilles S sept 2013.dvi

Durée : 4 heures

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2013

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Partie A

Restitution organisée de connaissances

Soit ∆ une droite de vecteur directeur −→ v et soit P un plan.

On considère deux droites sécantes et contenues dans P : la droite D1 de vecteur directeur

−→ u1 et la droite D2 de vecteur directeur

−→ u2 .

Montrer que ∆ est orthogonale à toute droite de P si et seulement si ∆ est orthogo- nale à D1 et à D2.

Partie B

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les trois points

A(0 ; −1 ; 1), B(4 ; −3 ; 0) et C(−1 ; −2 ; −1).

On appelle P le plan passant par A, B et C.

On appelle ∆ la droite ayant pour représentation paramétrique

x = t

y = 3t −1 z = −2t +8

avec t appartenant à R. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justi- fier la réponse.

1. Affirmation 1 : ∆ est orthogonale à toute droite du plan P.

2. Affirmation 2 : les droites ∆ et (AB) sont coplanaires.

3. Affirmation 3 : Le plan P a pour équation cartésienne x+3y −2z+5 = 0.

4. OnappelleD la droite passant par l’origine et de vecteur directeur −→ u (11 ; −1 ; 4).

Affirmation 4 : La droite D est strictement parallèle au plan d’équation x + 3y −2z+5= 0.

EXERCICE 2 6 points Commun à tous les candidats

Pour tout réel k strictement positif, on désigne par fk la fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels R telle que :

fk (x)= kxe −kx .

On note Ck sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie A : Étude du cask = 1

On considère donc la fonction f1 définie sur R par

f1(x)= xe −x .

1. Déterminer les limites de la fonction f1 en −∞ et en +∞. En déduire que la courbe C1 admet une asymptote que l’on précisera.

2. Étudier les variations de f1 sur R puis dresser son tableau de variation sur R.

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

3. Démontrer que la fonction g1 définie et dérivable sur R telle que :

g1(x)=−(x+1)e −x

est une primitive de la fonction f1 sur R.

4. Étudier le signe de f1(x) suivant les valeurs du nombre réel x.

5. Calculer, en unité d’aire, l’aire de la partie du plan délimitée par la courbeC1, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 0 et x = ln10.

Partie B : Propriétés graphiques

On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes C2, Ca et Cb a et b sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à Cb au point O origine du repère.

0,2

0,4

0,6

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2−0,2

T

Ca

Cb

C2

1. Montrer que pour tout réel k strictement positif, les courbes Ck passent par un même point.

2. a. Montrer que pour tout réel k strictement positif et tout réel x on a

f k (x)= k(1−kx)e −kx .

b. Justifier que, pour tout réel k strictement positif, fk admet un maximum et calculer ce maximum.

c. En observant le graphique ci-dessus, comparer a et 2. Expliquer la dé- marche.

d. Écrire une équation de la tangente à Ck au point O origine du repère.

e. En déduire à l’aide du graphique une valeur approchée de b.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Uneentreprise industrielle fabriquedes pièces cylindriques en grandequantité. Pour toute pièce prélevée au hasard, on appelle X la variable aléatoire qui lui associe sa longueur enmillimètre et Y la variable aléatoire qui lui associe son diamètre enmil- limètre. On suppose que X suit la loi normale de moyenne µ1 = 36 et d’écart-type σ1 = 0,2 et que Y suit la loi normale de moyenne µ2 = 6 et d’écart-type σ2 = 0,05.

Antilles-Guyane 2 11 septembre 2013

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1. Une pièce est dite conforme pour la longueur si sa longueur est comprise entre µ1−3σ1 et µ1+3σ1. Quelle est une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité p1 pour qu’une pièce prélevée au hasard soit conforme pour la longueur ?

2. Une pièce est dite conforme pour le diamètre si son diamètre est compris entre 5,88 mm et 6,12 mm. Le tableau donné ci-contre a été obtenu à l’aide d’un tableur. Il indique pour chacune des valeurs de k, la probabilité que Y soit inférieure ou égal à cette valeur. Déterminer à 10−3 près la probabilité p2 pour qu’une pièce prélevée au hasard soit conforme pour le diamètre (on pourra s’aider du tableau ci- contre).

k p(Y 6 k) 5,8 3,16712E−05 5,82 0,000159109 5,84 0,000687138 5,86 0,00255513 5,88 0,008197536 5,9 0,022750132 5,92 0,054799292 5,94 0,11506967 5,96 0,211855399 5,98 0,344578258 6 0,5

6,02 0,655421742 6,04 0,788144601 6,06 0,88493033 6,08 0,945200708 6,1 0,977249868 6,12 0,991802464 6,14 0,99744487 6,16 0,999312862 6,18 0,999840891 6,2 0,999968329

3. Onprélève unepièce auhasard.OnappelleL l’évènement « la pièce est conforme pour la longueur» etD l’évènement « la pièce est conformepour le diamètre». On suppose que les évènements L et D sont indépendants.

a. Une pièce est acceptée si elle est conforme pour la longueur et pour le diamètre.

Déterminer la probabilité pour qu’une pièce prélevée au hasard ne soit pas acceptée (le résultat sera arrondi à 10−2).

b. Justifier que la probabilité qu’elle soit conforme pour le diamètre sachant qu’elle n’est pas conforme pour la longueur, est égale à p2.

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties sont indépendantes

Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large. Sa démarche est très particulière :

• Soit il avance d’un pas tout droit ; • Soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un

pas vers la gauche et un pas tout droit) ; • Soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un

pas vers la droite et un pas tout droit). On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables.

L’objectif de cet exercice est d’estimer la probabilité p de l’évènement S « Tom tra- verse le pont » c’est-à-dire « Tom n’est pas tombé dans l’eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10 déplacements ».

Antilles-Guyane 3 11 septembre 2013

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Partie A : modélisation et simulation

On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d’un repère orthonormé (O , I, J) comme l’indique la figure ci-dessous. On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées (0 ; 0) au début de la traversée. Onnote (x ; y) les coordonnées de la position de Tom après x déplacements.

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

départ O I

J

On a écrit l’algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de x déplace- ments :

x, y,n sont des entiers Affecter à x la valeur 0 Affecter à y la valeur 0 Tant que y >−1 et y 6 1 et x 6 9

Affecter à n une valeur choisie au hasard entre −1, 0 et 1 Affecter à y la valeur y +n Affecter à x la valeur x+1

Fin tant que Afficher « la position de Tom est » (x ; y)

1. On donne les couples suivants : (−1 ; 1) ; (10 ; 0) ; (2 ; 4) ; (10 ; 2).

Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse.

2. Modifier cet algorithme pour qu’à la place de « la position de Tom est (x ; y) », il affiche finalement « Tom a réussi la traversée » ou « Tom est tombé ».

Partie B

Pour tout n entier naturel compris entre 0 et 10, on note : An l’évènement « après n déplacements, Tom se trouve sur un point d’ordonnée −1 ». Bn l’évènement « après n déplacements, Tom se trouve sur un point d’ordonnée 0 ». Cn l’évènement « après n déplacements, Tom se trouve sur un point d’ordonnée 1 ». On note an ,bn ,cn les probabilités respectives des évènements An ,Bn ,Cn .

1. Justifier que a0 = 0,b0 = 1,c0 = 0.

2. Montrer que pour tout entier naturel n compris entre 0 et 9, on a

an+1 = an +bn

3

bn+1 = an +bn +cn

3

On pourra s’aider d’un arbre pondéré.

3. Calculer les probabilités p (A1) , p (B1) et p (C1).

Antilles-Guyane 4 11 septembre 2013

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

4. Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux dépla- cements.

5. À l’aide d’un tableur, on a obtenu la feuille de cal- cul ci-contre qui donne des valeurs approchées de an , bn , cn pour n compris entre 0 et 10. Donner une valeur appro- chée à 0,001près de la pro- babilité que Tom traverse le pont (on pourra s’aider du tableau ci-contre).

n an bn cn 0 0 1 0 1 0,333333 0,333333 0,333333 2 0,222222 0,333333 0,222222 3 0,185185 0,259259 0,185185 4 0,148148 0,209877 0,148148 5 0,119342 0,168724 0,119342 6 0,096022 0,135802 0,096022 7 0,077275 0,109282 0,077275 8 0,062186 0,087944 0,062186 9 0,050043 0,070772 0,050043 10 0,040272 0,056953 0,040272

EXERCICE 4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère l’algorithme suivant :

A et X sont des nombres entiers Saisir un entier positif A Affecter à X la valeur de A Tant que X supérieur ou égal à 26

Affecter à X la valeur X - 26 Fin du tant que Afficher X

1. Qu’affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 3 ?

2. Qu’affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 55 ?

3. Pour unnombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme ?

Partie B

Onveut coder unbloc dedeux lettres selon la procédure suivante (détaillée en quatre étapes) :

Étape 1 : chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On obtient une matrice colonne

(

x1 x2

)

x1 correspond à la première lettre du mot

et x2 correspond à la deuxième lettre du mot.

Étape 2 :

(

x1 x2

)

est transformé en

(

y1 y2

)

tel que

(

y1 y2

)

=

(

3 1 5 2

)(

x1 x2

)

La matrice C =

(

3 1 5 2

)

est appelée la matrice de codage.

Antilles-Guyane 5 11 septembre 2013

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Étape 3 :

(

y1 y2

)

est transformé en

(

z1 z2

)

tel que

{

z1 ≡ y1 (26) avec 0 6 z1 6 25 z2 ≡ y2 (26) avec 0 6 z2 6 25

Étape 4 :

(

z1 z2

)

est transformé en un bloc de deux lettres en utilisant le tableau de

correspondance donné dans l’étape 1.

Exemple :

RE→

(

17 4

)

(

55 93

)

(

3 15

)

→DP

Le bloc RE est donc codé en DP

Justifier le passage de

(

17 4

)

à

(

55 93

)

puis à

(

3 15

)

.

1. Soient x1, x2, x′1, x

2 quatre nombres entiers compris entre 0 et 25 tels que

(

x1 x2

)

et

(

x′1 x′2

)

sont transformés lors du procédé de codage en

(

z1 z2

)

.

a. Montrer que

{

3x1+ x2 ≡ 3x′1+ x

2 (26) 5x1+2x2 ≡ 5x′1+2x

2 (26).

b. En déduire que x1 ≡ x′1 (26) et x2 ≡ x

2 (26) puis que x1 = x

1 et x2 = x

2.

2. On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP :

a. Vérifier que la matrice C ′ =

(

2 −1 −5 3

)

est la matrice inverse deC .

b. Calculer

(

y1 y2

)

tels que

(

y1 y2

)

=

(

2 −1 −5 3

)(

3 15

)

.

c. Calculer

(

x1 x2

)

tels que

{

x1 ≡ y1 (26) avec06 x1 6 25 x2 ≡ y2 (26) avec06 x2 6 25

d. Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer ?

3. Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage.

On considère un bloc de deux lettres et on appelle z1 et z2 les deux entiers compris entre 0 et 25 associés à ces lettres à l’étape 3. On cherche à trouver deux entiers x1 et x2 compris entre 0 et 25 qui donnent la matrice colonne (

z1 z2

)

par les étapes 2 et 3 du procédé de codage.

Soient y ′1 et y

2 tels que

(

y ′1 y2

)

=C ′ (

z1 z2

)

C ′ =

(

2 −1 −5 3

)

.

Soient x1 et x2, les nombres entiers tels que

{

x1 ≡ y

1 (26)avec06 x1 6 25 x2 ≡ y

2 (26)avec06 x2 6 25

Montrer que

{

3x1+ x2 ≡ z1 (26) 5x1+2x2 ≡ z2 (26).

.

Conclure.

4. Décoder QC.

Antilles-Guyane 6 11 septembre 2013

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