Géométrie algorithmique - exercitation sur la limite de la fonction, Exercices de Géométrie Algorithmique. Université Bordeaux I
Eusebe_S
Eusebe_S15 April 2014

Géométrie algorithmique - exercitation sur la limite de la fonction, Exercices de Géométrie Algorithmique. Université Bordeaux I

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Géométrie algorithmique - exercitation sur la limite de la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Interpréter graphiquement cette limite. Étudier les variations de la fonction f sur R. Dresser le tabl...
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Am du Sud S 21 nov 2013.dvi

A .P

.M .E

.P .

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Amérique du Sud \ 21 novembre 2013

Exercice 1 6 points Commun à tous les candidats

Partie A

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= xe1−x .

1. Vérifier que pour tout réel x, f (x)= e× x

ex .

2. Déterminer la limite de la fonction f en −∞. 3. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. Interpréter graphiquement cette limite. 4. Déterminer la dérivée de la fonction f .

5. Étudier les variations de la fonction f sur R puis dresser le tableau de variation.

Partie B

Pour tout entier naturel n non nul, on considère les fonctions gn et hn définies sur R par :

gn(x)= 1+ x + x2+·· ·+ xn et hn (x)= 1+2x +·· · +nxn−1.

1. Vérifier que, pour tout réel x : (1− x)gn(x)= 1− xn+1.

On obtient alors, pour tout réel x 6= 1 : gn(x)= 1− xn+1

1− x .

2. Comparer les fonctions hn et g n , g n étant la dérivée de la fonction gn .

En déduire que, pour tout réel x 6= 1 : hn (x)= nxn+1− (n+1)xn +1

(1− x)2 .

3. Soit Sn = f (1)+ f (2)+ ...+ f (n), f étant la fonction définie dans la partie A. En utilisant les résultats de la partie B, déterminer une expression de Sn puis sa limite quand n tend vers +∞.

Exercice 2 4 points Commun à tous les candidats

On considère le cube ABCDEFGH, d’arête de longueur 1, représenté ci-dessous et on munit l’es-

pace du repère orthonormé (

A ; −−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

)

.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).

2. Démontrer que le vecteur −→ n

1 −1 1

 est un vecteur normal au plan (BGE) et déterminer une

équation du plan (BGE).

3. Montrer que la droite (FD) est perpendiculaire au plan (BGE) en un point K de coordon- nées K

( 2 3 ;

1 3 ;

2 3

)

.

4. Quelle est la nature du triangle BEG? Déterminer son aire.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

B

C

D

A

F

G

H

E

K b

5. En déduire le volume du tétraèdre BEGD.

Exercice 3 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère l’équation

(E ) : z2−2z p 3+4= 0.

1. Résoudre l’équation (E ) dans l’ensemble C des nombres complexes.

2. On considère la suite (Mn ) des points d’affixes zn = 2nei(−1) n π

6 , définie pour n > 1.

a. Vérifier que z1 est une solution de (E ).

b. Écrire z2 et z3 sous forme algébrique.

c. Placer les points M1,M2,M3 et M4 sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les segments [M1,M2] , [M2,M3] et [M3,M4].

3. Montrer que, pour tout entier n > 1, zn = 2n (p

3

2 + (−1)n i

2

)

.

4. Calculer les longueurs M1M2 et M2M3.

Pour la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entier n > 1, Mn Mn+1 = 2n p 3.

5. On note ℓn = M1M2+M2M3+·· ·+Mn Mn+1. a. Montrer que, pour tout entier n > 1, ℓn = 2

p 3(2n −1).

b. Déterminer le plus petit entier n tel que ℓn > 1000.

Amérique du Sud 2 21 novembre 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

ANNEXE À rendre avec la copie

Exercice 3 : Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

2

4

6

8

−2

−4

−6

−8

2 4 6 8 10 12 14 16O

Amérique du Sud 3 21 novembre 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Exercice 3 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le gestionnaire d’un site web, composé de trois pages web numérotées de 1 à 3 et reliées entre elles par des liens hypertextes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web.

Des études statistiques lui ont permis de s’apercevoir que :

• Si un internaute est sur la page no 1, alors il ira, soit sur la page no 2 avec la probabilité 1

4 , soit

sur la page no 3 avec la probabilité 3

4 .

• Si un internaute est sur la page no 2, alors, soit il ira sur la page no 1 avec la probabilité 1

2 soit il

restera sur la page no 2 avec la probabilité 1

4 , soit il ira sur la page no 3 avec la probabilité

1

4 .

• Si un internaute est sur la page no 3, alors, soit il ira sur la page no 1 avec la probabilité 1

2 , soit il

ira sur la page no 2 avec la probabilité 1

4 ,soit il restera sur la page no 3 avec la probabilité

1

4 .

Pour tout entier naturel n, on définit les évènements et les probabilités suivants : An : « Après la n-ième navigation, l’internaute est sur la page no 1 » et on note an = P (An). Bn : « Après la n-ième navigation, l’internaute est sur la page no 2 » et on note bn = P (Bn ). Cn : « Après la n-ième navigation, l’internaute est sur la page no 3 » et on note cn = P (Cn).

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a an+1 = 1

2 bn +

1

2 cn .

On admet que, de même, bn+1 = 1

4 an +

1

4 bn +

1

4 cn et cn+1 =

3

4 an +

1

4 bn +

1

4 cn .

Ainsi : 

an+1 = 1

2 bn +

1

2 cn

bn+1 = 1

4 an +

1

4 bn +

1

4 cn

cn+1 = 3

4 an +

1

4 bn +

1

4 cn

2. Pour tout entier naturel n, on pose Un =

an bn cn

.

U0 =

a0 b0 c0

 représente la situation initiale, avec a0+b0+c0 = 1.

Montrer que, pour tout entier naturel n, Un+1 = MUn M est une matrice 3×3 que l’on précisera.

En déduire que, pour tout entier naturel n,Un = MnU0.

3. Montrer qu’il existe une seule matrice colonneU =

x

y

z

 telle que : x+ y +z = 1 et MU =U .

4. Un logiciel de calcul formel a permis d’obtenir l’expression de Mn , n étant un entier na- turel non nul :

Mn =

1 3 +

( −1 2

)n×2 3

1 3 +

( −1 2

)n

−3 1 3 +

(−1 2

)n

−3 1 4

1 4

1 4

5 12 +

(

− (−1

2

)n )

×2 3

5 12 +

− (−1

2

)n

−3 5 12 +

− (−1

2

)n

−3

Amérique du Sud 4 21 novembre 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Pour tout entier naturel n non nul, exprimer an , bn et cn en fonction de n. En déduire que les suites (an) , (bn ) et (cn) convergent vers des limites que l’on précisera.

5. Interpréter les résultats obtenus et donner une estimation des pourcentages de fréquen- tation du site à long terme.

Exercice 4 5 points Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 10−4 près.

Partie A

En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présen- tant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10%. L’étude a éga- lement permis de prouver que 30% des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d’un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n’atteint plus que 8% pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.

On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements : M : « La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme » C : « La personne est victime d’un accident cardiaque au cours de sa vie ».

1. a. Montrer que P (M C )= 0,03. b. Calculer P (C ).

2. On choisit au hasard une victime d’un accident cardiaque. Quelle est la probabilité qu’elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?

Partie B

La sécurité sociale décide de lancer une enquête de santé publique, sur ce problème de malfor- mation cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de 400 personnes, prises au hasard dans la population française. On note X la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l’échantillon présen- tant une malformation cardiaque de type anévrisme.

1. Définir la loi de la variable aléatoire X .

2. Déterminer P (X = 35). 3. Déterminer la probabilité que 30 personnes de ce groupe, au moins, présentent une mal-

formation cardiaque de type anévrisme.

Partie C

1. On considère la variable aléatoire F , définie par F = X

400 , X étant la variable aléatoire de

la partie B.

Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F au seuil de 95%.

2. Dans l’échantillon considéré, 60 personnes présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.

Qu’en pensez-vous ?

Amérique du Sud 5 21 novembre 2013

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