Géométrie algorithmique - exercitation sur la représentation paramétrique, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S15 April 2014

Géométrie algorithmique - exercitation sur la représentation paramétrique, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie algorithmique - exercitation sur la représentation paramétrique.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:le plan d’équation,l'arbre pondéré,la probabilité de l’évènement.
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Liban S 28 mai 2013.dvi

[ Baccalauréat S Liban 28 mai 2013 \

EXERCICE 1 4 points

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choixmultiples. Aucune justification n’est deman-

dée. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte.

Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de

réponse n’ôte pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de

la lettre correspondant à la proposition choisie.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→

k )

.

Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A(1 ; −1 ; 2), B(3 ; 3 ; 8), C(−3 ; 5 ; 4) et D(1 ; 2 ; 3). On note D la droite ayant pour représentation paramétrique 

x = t +1 y = 2t −1 z = 3t +2

, t ∈R

et D′ la droite ayant pour représentation paramétrique

x = k+1 y = k+3 z = −k+4

,k ∈R.

On note P le plan d’équation x+ y z+2= 0.

Question 1 :

Proposition a. Les droites D et D′ sont parallèles. Proposition b. Les droites D et D′ sont coplanaires. Proposition c. Le point C appartient à la droite D. Proposition d. Les droites D et D′ sont orthogonales.

Question 2 :

Proposition a. Le plan P contient la droite D et est parallèle à la droite D′. Proposition b. Le plan P contient la droite D′ et est parallèle à la droite D. Proposition c. Le plan P contient la droite D et est orthogonal à la droite D′. Proposition d. Le plan P contient les droites D et D′.

Question 3 :

Proposition a. Les points A, D et C sont alignés. Proposition b. Le triangle ABC est rectangle en A. Proposition c. Le triangle ABC est équilatéral. Proposition d. Le point D est le milieu du segment [AB].

Question 4 :

On note P ′ le plan contenant la droite D′ et le point A. Un vecteur normal à ce plan est : Proposition a.

−→ n (−1 ; 5 ; 4)

Proposition b. −→ n (3 ; −1 ; 2)

Proposition c. −→ n (1 ; 2 ; 3)

Proposition d. −→ n (1 ; 1 ; −1)

EXERCICE 2 5 points

Commun à tous les candidats

L’entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu’elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination « compote allégée ». La législation impose alors que la teneur en sucre, c’est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

L’entreprise possède deux chaînes de fabrication F1 et F2.

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Partie A

La chaîne de production F2 semble plus fiable que la chaîne de production F1. Elle est cependant moins rapide. Ainsi, dans la production totale, 70% des petits pots proviennent de la chaîne F1 et 30% de la chaîne F2. La chaîne F1 produit 5% de compotes non conformes et la chaîne F2 en produit 1%. On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évè- nements : E : « Le petit pot provient de la chaîne F2 » C : « Le petit pot est conforme. »

1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui pré- cèdent.

2. Calculer la probabilité de l’évènement : « Le petit pot est conformeet provient de la chaîne de production F1. »

3. Déterminer la probabilité de l’évènement C .

4. Déterminer, à 10−3 près, la probabilité de l’évènement E sachant que l’évè- nement C est réalisé.

Partie B

1. On note X la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la pro- duction de la chaîne F1, associe sa teneur en sucre.

On suppose que X suit la loi normale d’espérance m1 = 0,17 et d’écart-type σ1 = 0,006.

Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.

α β P (α6 X 6β) 0,13 0,15 0,0004 0,14 0,16 0,0478 0,15 0,17 0,4996 0,16 0,18 0,9044 0,17 0,19 0,4996 0,18 0,20 0,0478 0,19 0,21 0,0004

Donner une valeur approchée à 10−4 près de la probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F1 soit conforme.

2. On note Y la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la pro- duction de la chaîne F2, associe sa teneur en sucre.

On suppose que Y suit la loi normale d’espérance m2 = 0,17 et d’écart-type σ2.

On suppose de plus que la probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F2 soit conforme est égale à 0,99.

Soit Z la variable aléatoire définie par Z = Y m2

σ2 .

a. Quelle loi la variable aléatoire Z suit-elle ?

b. Déterminer, en fonction de σ2 l’intervalle auquel appartient Z lorsque Y appartient à l’intervalle [0,16 ; 0,18].

Liban 2 28 mai 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

c. En déduire une valeur approchée à 10−3 près de σ2.

On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire Z suit la loi normale d’espérance 0 et d’écart-type 1.

β P (−β6 Z 6β) 2,4324 0,985 2,4573 0,986 2,4838 0,987 2,5121 0,988 2,5427 0,989 2,5758 0,990 2,6121 0,991 2,6521 0,992 2,6968 0,993

EXERCICE 3 6 points

Commun à tous les candidats

Étant donné un nombre réel k, on considère la fonction fk définie sur R par

fk (x)= 1

1+e−kx .

Le plan est muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Partie A

Dans cette partie on choisit k = 1. On a donc, pour tout réel x, f1(x)= 1

1+e−x .

La représentation graphique C1 de la fonction f1 dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

est don-

née en ANNEXE, à rendre avec la copie.

1. Déterminer les limites de f1(x) en +∞ et en −∞ et interpréter graphique- ment les résultats obtenus.

2. Démontrer que, pour tout réel x, f1(x)= ex

1+ex .

3. On appelle f ′1 la fonction dérivée de f1 sur R. Calculer, pour tout réel x, f

1(x).

En déduire les variations de la fonction f1 sur R.

4. On définit le nombre I = ∫1

0 f1(x)dx.

Montrer que I = ln

(

1+e

2

)

. Donner une interprétation graphique de I .

Partie B

Dans cette partie, on choisit k =−1 et on souhaite tracer la courbeC−1 représentant la fonction f−1. Pour tout réel x, on appelle P le point deC1 d’abscisse x etM le point deC−1 d’abs- cisse x. On note K le milieu du segment [MP ].

1. Montrer que, pour tout réel x, f1(x)+ f−1(x)= 1.

2. En déduire que le point K appartient à la droite d’équation y = 1

2 .

3. Tracer la courbe C−1 sur l’ANNEXE, à rendre avec la copie.

4. En déduire l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par les courbes C1, C−1 l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1.

Liban 3 28 mai 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Partie C

Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre k. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1. Quelle que soit la valeur du nombre réel k, la représentation graphique de la fonction fk est strictement comprise entre les droites d’équations y = 0 et y = 1.

2. Quelle que soit la valeur du réel k, la fonction fk est strictement croissante.

3. Pour tout réel k > 10, fk

(

1

2

)

> 0,99.

EXERCICE 4 5 points

Candidats N’AYANT PAS SUIVI l’enseignement de spécialité

On considère la suite numérique (vn) définie pour tout entier naturel n par 

v0 = 1

vn+1 = 9

6− vn

Partie A

1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang n.

Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en jus- tifiant la réponse.

Algorithme No 1 Algorithme No 2 Algorithme No 3

Variables : Variables : Variables :

v est un réel v est un réel v est un réel i et n sont des entiers na- turels

i et n sont des entiers na- turels

i et n sont des entiers na- turels

Début de l’algorithme : Début de l’algorithme : Début de l’algorithme :

Lire n Lire n Lire n v prend la valeur 1 Pour i variant de 1 à n

faire v prend la valeur 1

Pour i variant de 1 à n faire

v prend la valeur 1 Pour i variant de 1 à n faire

v prend la valeur 9

6−v Afficher v Afficher v

Fin pour v prend la valeur 9

6−v v prend la valeur

9

6−v Afficher v Fin pour Fin pour

Afficher v Fin algorithme Fin algorithme Fin algorithme

2. Pour n = 10 on obtient l’affichage suivant :

1 1,800 2,143 2,333 2,455 2,538 2,600 2,647 2,684 2,714

Pour n = 100, les derniers termes affichés sont :

2,967 2,968 2,968 2,968 2,969 2,969 2,969 2,970 2,970 2,970

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (vn) ?

3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0< vn < 3.

Liban 4 28 mai 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, vn+1− vn = (3− vn )2

6− vn .

La suite (vn) est-elle monotone ?

c. Démontrer que la suite (vn) est convergente.

Partie B Recherche de la limite de la suite (vn )

On considère la suite (wn) définie pour tout n entier naturel par

wn = 1

vn −3 .

1. Démontrer que (wn) est une suite arithmétique de raison − 1

3 2. En déduire l’expression de (wn), puis celle de (vn) en fonction de n.

3. Déterminer la limite de la suite (vn).

EXERCICE 4 5 points

Candidats AYANT SUIVI l’enseignement de spécialité

On considère la suite (un ) définie par u0 = 3, u1 = 8 et, pour tout n supérieur ou égal à 0 :

un+2 = 5un+1−6un .

1. Calculer u2 et u3.

2. Pour tout entier naturel n> 2, on souhaite calculer un à l’aide de l’algorithme suivant :

Variables : a,b et c sont des nombres réels i et n sont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 2

Initialisation : a prend la valeur 3 b prend la valeur 8

Traitement : Saisir n Pour i variant de 2 à n faire

c prend la valeur a a prend la valeur b b prend la valeur . . .

Fin Pour Sortie : Afficher b

a. Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les com- pléter.

On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant :

n 7 8 9 10 11 12 13 14 15 un 4 502 13 378 39 878 119 122 356 342 1 066 978 3 196 838 9 582 322 28 730 582

b. Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite (un ) ?

3. Pour tout entier naturel n, on note Cn la matrice colonne

(

un+1 un

)

.

On note A la matrice carrée d’ordre 2 telle que, pour tout entier naturel n,

Cn+1 = ACn .

Déterminer A et prouver que, pour tout entier naturel n, Cn = AnC0.

Liban 5 28 mai 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

4. Soient P =

(

2 3 1 1

)

, D =

(

2 0 0 3

)

etQ =

(

−1 3 1 −2

)

.

CalculerQP .

On admet que A =PDQ .

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nonnuln,An =PDnQ .

5. À l’aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l’on admet.

Pour tout entier naturel non nul n,

An =

(

−2n+1+3n+1 3×2n+1−2×3n+1

−2n +3n 3×2n −2×3n

)

.

En déduire une expression de un en fonction de n.

La suite (un ) a-t-elle une limite ?

Liban 6 28 mai 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

ANNEXE de l’EXERCICE 3, à rendre avec la copie

Représentation graphique C1 de la fonction f1

1

−1

−2

1 2 3−1−2−3 −→ ı

−→

O

C1

Liban 7 28 mai 2013

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