Géométrie algorithmique - exercitation sur la variable aléatoire, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S15 April 2014

Géométrie algorithmique - exercitation sur la variable aléatoire, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie algorithmique - exercitation sur la variable aléatoire. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'intervalle de confiance, les paramètres de la loi normale.
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Antilles-Guyane S 18 juin 2013.dvi

Durée : 4 heures

Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2013

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Description de la figure dans l’es- pace muni du repère orthonormé (

A ; −−→ AB ;

−−→ AD ;

−−→ AE

)

:

ABCDEFGH désigne un cube de côté 1. On appelle P le plan (AFH). Le point I est le milieu du segment [AE ], le point J est le milieu du segment [BC ], le point K est lemilieu du segment [HF ], le point L est le point d’intersection de la droite (EC ) et du plan P .

b

A

b

B

b D

b E

b C

b

F

b

H b G

bI

b

J

b K

b

L

Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une

seule des quatre affirmations est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro

de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est

demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence

de réponse ne rapporte aucun point.

1. a. Les droites (I J ) et (EC ) sont strictement parallèles.

b. Les droites (I J ) et (EC ) sont non coplanaires.

c. Les droites (I J ) et (EC ) sont sécantes.

d. Les droites (I J ) et (EC ) sont confondues.

2. a. Le produit scalaire −−→ AF ·−−→BG est égal à 0.

b. Le produit scalaire −−→ AF ·−−→BG est égal à (−1).

c. Le produit scalaire −−→ AF ·−−→BG est égal à 1.

d. Le produit scalaire −−→ AF ·−−→BG est égal à 2.

3. Dans le repère orthonormé (

A ; −−→ AB ;

−−→ AD ;

−−→ AE

)

:

a. Le plan P a pour équation cartésienne : x+ y + z−1= 0. b. Le plan P a pour équation cartésienne : xy + z = 0. c. Le plan P a pour équation cartésienne : −x+ y + z = 0. d. Le plan P a pour équation cartésienne : x+ y z = 0.

4. a. −−→ EG est un vecteur normal au plan P .

b. −−→ EL est un vecteur normal au plan P .

c. −→ I J est un vecteur normal au plan P .

d. −−→ DI est un vecteur normal au plan P .

5. a. −−→ AL = 12

−−→ AH + 12

−−→ AF .

b. −−→ AL = 13

−−→ AK .

c. −−→ ID = 12

−→ I J .

d. −−→ AL = 13

−−→ AB + 13

−−→ AD + 23

−−→ AE .

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats

Partie A

Soient n un entier naturel, p un nombre réel compris entre 0 et 1, et Xn une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. On note Fn = Xnn et f une valeur prise par Fn . On rappelle que, pourn assez grand, l’intervalle

[

p− 1p n ; p+ 1p

n

]

contient la fréquence f avec une probabilité au moins égale à 0,95.

Endéduire que l’intervalle [

f − 1p n ; f + 1p

n

]

contient p avec uneprobabilité aumoins

égale à 0,95.

Partie B

On cherche à étudier le nombre d’étudiants connaissant la signification du sigle URSSAF. Pour cela, on les interroge en proposant un questionnaire à choix mul- tiples. Chaque étudiant doit choisir parmi trois réponses possibles, notées A, B et C , la bonne réponse étant la A. On note r la probabilité pour qu’un étudiant connaisse la bonne réponse. Tout étu- diant connaissant la bonne réponse répond A, sinon il répond au hasard (de façon équiprobable).

1. On interroge un étudiant au hasard. On note :

A l’évènement « l’étudiant répond A »,

B l’évènement « l’étudiant répond B »,

C l’évènement « l’étudiant répond C »,

R l’évènement « l’étudiant connait la réponse »,

R l’évènement contraire de R.

a. Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de probabilité.

b. Montrer que la probabilité de l’évènement A est P (A)= 13 (1+2r ). c. Exprimer en fonction de r la probabilité qu’une personne ayant choisie A

connaisse la bonne réponse.

2. Pour estimer r , on interroge 400 personnes et on note X la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses. On admettra qu’interroger au ha- sard 400 étudiants revient à effectuer un tirage avec remise de 400 étudiants dans l’ensemble de tous les étudiants.

a. Donner la loi de X et ses paramètres n et p en fonction de r .

b. Dans un premier sondage, on constate que 240 étudiants répondent A, parmi les 400 interrogés.

Donner un intervalle de confiance au seuil de 95 % de l’estimation de p.

En déduire un intervalle de confiance au seuil de 95 % de r .

c. Dans la suite, on suppose que r = 0,4. Compte-tenu du grand nombre d’étudiants, on considérera que X suit une loi normale.

i. Donner les paramètres de cette loi normale.

ii. Donner une valeur approchée de P (X 6 250) à 10−2 près.

On pourra s’aider de la table en annexe 1, qui donne une valeur ap- prochée de P (X 6 t) où X est la variable aléatoire de la question 2. c.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Dans tout ce qui suit,m désigne un nombre réel quelconque.

Antilles-Guyane 2 18 juin 2013

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Partie A

Soit f la fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels R telle que :

f (x)= (x+1)ex .

1. Calculer la limite de f en +∞ et −∞. 2. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur R.

Démontrer que pour tout réel x, f ′(x)= (x+2)ex . 3. Dresser le tableau de variation de f sur R.

Partie B

On définie la fonction gm sur R par :

gm(x)= x+1−me−x

et on note Cm la courbe de la fonction gm dans un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

du plan.

1. a. Démontrer que gm(x)= 0 si et seulement si f (x)=m. b. Déduire de la partie A, sans justification, le nombre de points d’intersec-

tion de la courbe Cm avec l’axe des abscisses en fonction du réelm.

2. On a représenté en annexe 2 les courbes C0, C , et C−e (obtenues en prenant respectivement pourm les valeurs 0, e et −e). Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l’annexe en justifiant.

3. Étudier la position de la courbe Cm par rapport à la droite D d’équation

y = x+1 suivant les valeurs du réelm. 4. a. On appelle D2 la partie du plan comprise entre les courbes Ce, C−e, l’axe

(Oy) et la droite x = 2. HachurerD2 sur l’annexe 2. b. Dans cette question, a désigne un réel positif, Da la partie du plan com-

prise entreCe,C−e, l’axe (Oy) et la droite∆a d’équation x = a. On désigne par A (a) l’aire de cette partie du plan, exprimée en unités d’aire.

Démontrer que pour tout réel a positif : A (a)= 2e−2e1−a . En déduire la limite de A (a) quand a tend vers +∞.

EXERCICE 4 5 points Commun ayant suivi l’enseignement de spécialité

On définit les suite (un ) et (vn) sur l’ensemble N des entiers naturels par :

u0 = 0 ; v0 = 1 , et

un+1 = un + vn

2 vn+1 =

un +2vn 3

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites (un ) et (vn).

1. Calculer u1 et v1.

2. On considère l’algorithme suivant :

Antilles-Guyane 3 18 juin 2013

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Variables : u, v et w des nombres réels N et k des nombres entiers

Initialisation : u prend la valeur 0 v prend la valeur 1

Début de l’algorithme Entrer la valeur de N Pour k variant de 1 à N

w prend la valeur u

u prend la valeur w + v 2

v prend la valeur w +2v

3 Fin du Pour Afficher u Afficher v Fin de l’algorithme

a. On exécute cet algorithme en saisissant N = 2. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exé- cution de l’algorithme.

k w u v

1 2

b. Pour un nombre N donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l’algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?

3. Pour tout entier naturel n on définit le vecteur colonne Xn par Xn = (

un vn

)

et

la matrice A par A = ( 1 2

1 2

1 3

2 3

)

.

a. Vérifier que, pour tout entier naturel n, Xn+1 = AXn . b. Démontrer par récurrence que Xn = AnX0 pour tout entier naturel n.

4. On définit les matrices P , P ′ et B par P = ( 4

5 6 5

− 65 6 5

)

, P ′ = ( 1 2 −

1 2

1 2

1 3

)

et B = (

1 0 0 16

)

.

a. Calculer le produit PP ′. On admet que P BP = A. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, An =P BnP .

b. On admet que pour tout entier naturel n, Bn = (

1 0 0

( 1 6

)n

)

.

En déduire l’expression de la matrice An en fonction de n.

5. a. Montrer que Xn = ( 3 5 −

3 5

( 1 6

)n

3 5 +

2 5

( 1 6

)n

)

pour tout entier naturel n.

En déduire les expressions de un et vn en fonction de n.

b. Déterminer alors les limites des suites (un ) et (vn).

EXERCICE 4 5 points Commun n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite (zn) à termes complexes définie par z0 = 1+ i et, pour tout entier naturel n, par

zn+1 = zn +|zn |

3 .

Antilles-Guyane 4 18 juin 2013

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Pour tout entier naturel n, on pose : zn = an + ibn , où an est la partie réelle de zn et bn est la partie imaginaire de zn . Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites (an) et (bn ).

Partie A

1. Donner a0 et b0.

2. Calculer z1, puis en déduire que a1 = 1+

p 2

3 et b1 =

1

3 .

3. On considère l’algorithme suivant :

Variables : A et B des nombres réels K et N des nombres entiers

Initialisation : Affecter à A la valeur 1 Affecter à B la valeur 1

Traitement : Entrer la valeur de N Pour K variant de 1 à N

Affecter à A la valeur A+

p A2+B2

3

Affecter à B la valeur B

3 FinPour Afficher A

a. On exécute cet algorithme en saisissant N = 2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme (on arrondira les valeurs calculées à 10−4 près).

K A B

1 2

b. Pour un nombreN donné, à quoi correspond la valeur affichée par l’algo- rithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?

Partie B

1. Pour tout entier naturel n, exprimer zn+1 en fonction de an et bn .

En déduire l’expression de an+1 en fonction de an et bn , et l’expression de bn+1 en fonction de an et bn .

2. Quelle est la nature de la suite (bn ) ? Endéduire l’expressiondebn en fonction de n, et déterminer la limite de (bn).

3. a. On rappelle que pour tous nombres complexes z et z ′ :

z+ z ′ ∣

∣6 |z|+ ∣

z ′ ∣

∣ (inégalité triangulaire).

Montrer que pour tout entier naturel n,

|zn+1|6 2 |zn | 3

.

b. Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn |. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,

un 6

(

2

3

)np 2.

En déduire que la suite (un ) converge vers une limite que l’on détermi- nera.

c. Montrer que, pour tout entier naturel n, |an |6un . En déduire que la suite (an) converge vers une limite que l’on déterminera.

Antilles-Guyane 5 18 juin 2013

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Annexe 2

Exercice 3

À rendre avec la copie

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2

Courbe 1

Courbe 2

Courbe 3

Antilles-Guyane 6 18 juin 2013

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Annexe 2

Exercice 3

À rendre avec la copie

E12 =LOI.NORMALE($A12+E$1 ;240 ;RACINE(96) ;VRAI) A B C D E F G H I J K

1 t 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 2 235 0,305 0,309 0,312 0,316 0,319 0,323 0,327 0,330 0,334 0,338 3 236 0,342 0,345 0,349 0,353 0,357 0,360 0,364 0,368 0,372 0,376 4 237 0,380 0,384 0,388 0,391 0,395 0,399 0,403 0,407 0,411 0,415 5 238 0,419 0,423 0,427 0,431 0,435 0,439 0,443 0,447 0,451 0,455 6 239 0,459 0,463 0,467 0,472 0,476 0,480 0,484 0,488 0,492 0,496 7 240 0,500 0,504 0,508 0,512 0,516 0,520 0,524 0,528 0,533 0,537 8 241 0,541 0,545 0,549 0,553 0,557 0,561 0,565 0,569 0,573 0,577 9 242 0,581 0,585 0,589 0,593 0,597 0,601 0,605 0,609 0,612 0,616 10 243 0,620 0,624 0,628 0,632 0,636 0,640 0,643 0,647 0,651 0,655 11 244 0,658 0,662 0,666 0,670 0,673 0,677 0,681 0,684 0,688 0,691

12 245 0,695 0,699 0,702 0,706 0,709 0,713 0,716 0,720 0,723 0,726

13 246 0,730 0,733 0,737 0,740 0,743 0,746 0,750 0,753 0,756 0,759 14 247 0,763 0,766 0,769 0,772 0,775 0,778 0,781 0,784 0,787 0,790 15 248 0,793 0,796 0,799 0,802 0,804 0,807 0,810 0,813 0,815 0,818 16 249 0,821 0,823 0,826 0,829 0,831 0,834 0,836 0,839 0,841 0,844 17 250 0,846 0,849 0,851 0,853 0,856 0,858 0,860 0,863 0,865 0,867 18 251 0,869 0,871 0,874 0,876 0,878 0,880 0,882 0,884 0,886 0,888 19 252 0,890 0,892 0,893 0,895 0,897 0,899 0,901 0,903 0,904 0,906 20 253 0,908 0,909 0,911 0,913 0,914 0,916 0,917 0,919 0,921 0,922 21 254 0,923 0,925 0,926 0,928 0,929 0,931 0,932 0,933 0,935 0,936 22 255 0,937 0,938 0,940 0,941 0,942 0,943 0,944 0,945 0,947 0,948 23 256 0,949 0,950 0,951 0,952 0,953 0,954 0,955 0,956 0,957 0,958 24 257 0,959 0,960 0,960 0,961 0,962 0,963 0,964 0,965 0,965 0,966 25 258 0,967 0,968 0,968 0,969 0,970 0,970 0,971 0,972 0,972 0,973 26 259 0,974 0,974 0,975 0,976 0,976 0,977 0,977 0,978 0,978 0,979 27 260 0,979 0,980 0,980 0,981 0,981 0,982 0,982 0,983 0,983 0,984

Extrait d’une feuille de calcul

Exemple d’utilisation : au croisement de la ligne 12 et de la colonne E le nombre 0,706 correspond à P (X 6 245,3).

Antilles-Guyane 7 18 juin 2013

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