Géométrie algorithmique - exercitation sur les probabilités, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S15 April 2014

Géométrie algorithmique - exercitation sur les probabilités, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie algorithmique - exercitation sur les probabilités. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides. Calculer la probabilité qu’au moins...
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Asie S 18 juin 2013.dvi

[ Baccalauréat S Asie 18 juin 2013\

Dans l’ensemble du sujet, et pour chaque question, toute trace de recherche même in- complète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

EXERCICE 1 5 points

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.

Partie A

Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80% de ses boîtes chez le fournisseur A et 20% chez le fournisseur B.

10% des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20% de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides. On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements sui- vants :

— évènement A : « la boîte provient du fournisseur A » ; — évènement B : « la boîte provient du fournisseur B » ; — évènement S : « la boîte présente des traces de pesticides ».

1. Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.

2. a. Quelle est la probabilité de l’évènement B S ? b. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de

pesticides est égale à 0,88.

3. On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.

Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?

Partie B

Le gérant d’un salon de thé achète 10 boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de 10 boîtes avec remise. On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides.

1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les pa- ramètres.

2. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides.

3. Calculer la probabilité qu’au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesti- cides.

Partie C

À des fins publicitaires, le grossiste affiche sur ses plaquettes : « 88% de notre thé est ga- ranti sans trace de pesticides ». Un inspecteur de la brigade de répression des fraudes souhaite étudier la validité de l’af- firmation. À cette fin, il prélève 50 boîtes au hasard dans le stock du grossiste et en trouve 12 avec des traces de pesticides.

On suppose que, dans le stock du grossiste, la proportion de boîtes sans trace de pesticides est bien égale à 0,88. On note F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50 boîtes, associe la fréquence des boîtes ne contenant aucune trace de pesticides.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Donner l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F au seuil de 95%.

2. L’inspecteur de la brigade de répression peut-il décider, au seuil de 95%, que la publicité est mensongère ?

EXERCICE 2 6 points

Commun à tous les candidats

On considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par :

f (x)= ex et g (x)= 1−e−x .

Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement C f et Cg , sont fournies en annexe.

Partie A

Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tan- gentes sur la figure de l’annexe.

Partie B

Dans cette partie, on admet l’existence de ces tangentes communes. OnnoteD l’une d’entre elles. Cette droite est tangente à la courbeC f au point A d’abscisse a et tangente à la courbe Cg au point B d’abscisse b.

1. a. Exprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point A.

b. Exprimer en fonction de b le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cg au point B.

c. En déduire que b =−a. 2. Démontrer que le réel a est solution de l’équation

2(x−1)ex +1= 0.

Partie C

On considère la fonction ϕ définie sur R par

ϕ(x)= 2(x−1)ex +1.

1. a. Calculer les limites de la fonction ϕ en −∞ et +∞. b. Calculer la dérivée de la fonction ϕ, puis étudier son signe.

c. Dresser le tableau de variation de la fonction ϕ sur R. Préciser la valeur deϕ(0).

2. a. Démontrer que l’équation ϕ(x)= 0 admet exactement deux solutions dans R. b. On note α la solution négative de l’équation ϕ(x)= 0 et β la solution positive de

cette équation.

À l’aide d’une calculatrice, donner les valeurs de α et β arrondies au centième.

Partie D

Dans cette partie, on démontre l’existence de ces tangentes communes, que l’on a admise dans la partie B. On note E le point de la courbeC f d’abscisse α et F le point de la courbeCg d’abscisse−α (α est le nombre réel défini dans la partie C).

Asie 2 18 juin 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe C f au point E.

2. Démontrer que (EF) est tangente à Cg au point F.

EXERCICE 3 4 points

Commun à tous les candidats

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.

Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d’elles est vraie ou

fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans les questions 1. et 2., le plan est rapporté au repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On considère les points A, B, C, D et E d’affixes respectives :

a = 2+2i, b =− p 3+ i, c = 1+ i

p 3, d =−1+

p 3

2 i et e =−1+

(

2+ p 3 )

i.

1. Affirmation 1 : les points A, B et C sont alignés.

2. Affirmation 2 : les points B, C et D appartiennent à unmême cercle de centre E.

3. Dans cette question, l’espace est muni d’un repère (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

On considère les points I(1 ; 0 ; 0), J(0 ; 1 ; 0) et K(0 ; 0 ; 1).

Affirmation 3 : la droite D de représentation paramétrique

x = 2− t y = 6−2t z = −2+ t

t ∈R, coupe le plan (IJK) au point E (

− 1

2 ; 1 ;

1

2

)

.

4. Dans le cube ABCDEFGH, le point T est le milieu du segment [HF].

A B

CD

E F

GH

T

Affirmation 4 : les droites (AT) et (EC) sont orthogonales

EXERCICE 4 5 points

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère la suite (un ) définie par : u0 = 2 et, pour tout entier nature n :

un+1 = 1+3un 3+un

.

Asie 3 18 juin 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un > 1.

2. a. Établir que, pour tout entier naturel n, on a : un+1−un = (1−un ) (1+un )

3+un .

b. Déterminer le sens de variation de la suite (un ).

En déduire que la suite (un ) converge.

Partie B

On considère la suite (un ) définie par : u0 = 2 et, pour tout entier nature n :

un+1 = 1+0,5un 0,5+un

.

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

1. On considère l’algorithme suivant :

Entrée Soit un entier naturel non nul n Initialisation Affecter à u la valeur 2

Traitement et sortie

POUR i allant de 1 à n

Affecter à u la valeur 1+0,5u 0,5+u

Afficher u FIN POUR

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour n = 3. Les valeurs de u seront arrondies aumillième.

i 1 2 3 u

2. Pour n = 12, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :

i 4 5 6 7 8 9 10 11 12 u 1,008 3 0,997 3 1,000 9 0,999 7 1,000 1 0,999 97 1,000 01 0,999 996 1,000 001

Conjecturer le comportement de la suite (un ) à l’infini.

3. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par : vn = un −1 un +1

.

a. Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison − 1

3 .

b. Calculer v0 puis écrire vn en fonction de n.

4. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : vn 6= 1.

b. montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un = 1+ vn 1− vn

.

c. Déterminer la limite de la suite (un ).

EXERCICE 4 5 points

Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d’une photographie. Ainsi, le rectangle initial OEFG est transformé en un rectangle OE′F′G′, appelé image de OEFG.

Asie 4 18 juin 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

E

F

G

O

E′

F′

G′

Figure 1

L’objet de cet exercice est d’étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives.

Partie A

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Les points E, F et G ont pour coordonnées respectives (2 ; 2), (−1 ; 5) et (−3 ; 3). La transformation du logiciel associe à tout point M(x ; y) du plan le point M ′(x′ ; y ′), image du point M tel que :

x′ = 5

4 x+

3

4 y

y ′ = 3

4 x+

5

4 y

O

E

F

G

Figure 2

1. a. Calculer les coordonnées des points E′, F′ et G′, images des points E, F et G par cette transformation.

b. Comparer les longueurs OE et OE′ d’une part, OG et OG′ d’autre part.

Donner la matrice carrée d’ordre 2, notée A, telle que :

(

x

y

)

= A (

x

y

)

.

Asie 5 18 juin 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Partie B

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet F du rec- tangle OEFG lorsqu’on applique plusieurs fois la transformation du logiciel.

1. On considère l’algorithme suivant destiné à afficher les coordonnées de ces images successives.

Une erreur a été commise.

Modifier cet algorithme pour qu’il permette d’afficher ces coordonnées.

Entrée Saisir un entier naturel non nul N

Initialisation Affecter à x la valeur −1 Affecter à y la valeur 5

Traitement

POUR i allant de 1 à N Affecter à a la valeur 54x+

3 4 y

Affecter à b la valeur 34x+ 5 4 y

Affecter à x la valeur a Affecter à y la valeur b FIN POUR

Sortie Afficher x, afficher y

2. On a obtenu le tableau suivant :

i 1 2 3 4 5 10 15 x 2,5 7,25 15,625 31,8125 63,9063 2047,9971 65535,9999 y 5,5 8,75 16,375 32,1875 64,0938 2048,0029 65536,0001

Conjecturer le comportement de la suite des images successives du point F.

Partie C

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet E du rec- tangle OEFG. On définit la suite des points En

(

xn ; yn )

du plan par E0 = E et la relation de récurrence :

(

xn+1 yn+1

)

= A (

xn yn

)

,

où (

xn+1 ; yn+1 )

désignent les coordonnées du point En+1. Ainsi x0 = 2 et y0 = 2.

1. On admet que, pour tout entier n > 1, la matrice An peut s’écrire sous la forme :

An = (

αn βn βn αn

)

.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n> 1, on a :

αn = 2n−1+ 1

2n+1 et βn = 2n−1−

1

2n+1 .

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, le point En est situé sur la droite d’équation y = x. On pourra utiliser que, pour tout entier naturel n, les coordonnées

(

xn ; yn )

du point En vérifient :

(

xn yn

)

= An (

2 2

)

.

b. Démontrer que la longueur OEn tend vers +∞ quand n tend vers +∞.

Asie 6 18 juin 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Annexe

à rendre avec la copie

Exercice 2

1

2

3

4

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4−5

5

5O

C f

Cg

Asie 7 18 juin 2013

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