Géométrie analytique - travaux pratiques sur l’ensemble des points M du plan d’affixe, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S15 April 2014

Géométrie analytique - travaux pratiques sur l’ensemble des points M du plan d’affixe, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Géométrie analytique - travaux pratiques sur l’ensemble des points M du plan d’affixe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la suite de nombres complexes, lamédiatrice du segment.
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S Caledonie mars 2014.dvi

A . P. M .E

. P.

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie\ 7mars 2014

EXERCICE 1 4 points

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, une

seule des quatre réponses proposées est exacte.

Le candidat indiquera SUT la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n’est demandée. Au-

cun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. Soit z un

nombre complexe de la forme x+ iy , où x et y sont des réels.

1. Soit z le nombre complexe d’affixe (1+ i)4. L’écriture exponentielle de z est : a.

p 2eiπ

b. 4eiπ

c. p 2ei

π

4

d. 4ei π

4

2. L’ensemble des pointsM du plan d’affixe z = x+iy tels que |z−1+i| = ∣

p 3− i

a pour équation :

a. (x−1)2+ (y +1)2 = 2 b. (x+1)2+ (y −1)2 = 2 c. (x−1)2+ (y +1)2 = 4

d. y = x+ p 3−1 2

3. On considère la suite de nombres complexes (Zn) définie pour tout entier naturel n par Z0 = 1+ i et Zn+1 = 1+i2 Zn . On note Mn le point du plan d’affixe Zn .

a. Pour tout entier naturel n, le pointMn appartient au cercle de centre O et de rayon

p 2.

b. Pour tout entier naturel n, le triangle OMnMn+1 est équilatéral.

c. La suite (Un) définie parUn = |Zn| est convergente.

d. Pour tout entier naturel n, un argument de Zn+1−Zn

Zn est π2 .

4. Soit A, B, C trois points du plan complexe d’affixes respectives :

ZA =−1− i ; ZB = 2−2i et ZC = 1+5i.

On pose Z = ZC−ZA ZB−ZA

.

a. Z est un nombre réel.

b. Le triangle ABC est isocèle en A.

c. Le triangle ABC est rectangle en A.

d. Le point M d’affixe Z appartient à la médiatrice du segment [BC].

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

EXERCICE 2 6 points

Commun à tous les candidats

Les parties A, B et C sont indépendantes

Partie A

Restitution organisée des connaissances

L’objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant : Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel α appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[, il existe un unique réel strictement positif χα tel que P

(

χα < X <χα )

= 1−α.

Soit f la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels R par

f (t)= 1

p 2π

e− t2 2 .

Soit H la fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[ par

H(x)=P (−x6 X 6 x)= ∫x

x f (t)dt .

1. Que représente la fonction f pour la loi normale centrée réduite ?

2. Préciser H(0) et la limite de H(x) quand x tend vers +∞. 3. À l’aide de considérations graphiques, montrer que pour tout nombre réel

positif x, H(x)= 2 ∫x

0 f (t)dt .

4. En déduire que la dérivée H ′ de la fonction H sur [0 ; +∞[ est la fonction 2 f et dresser le tableau de variations de H sur [0 ; +∞[.

5. Démontrer alors le théorème énoncé.

Partie B

Un laboratoire se fournit en pipettes auprès de deux entreprises, notées A et B. 60% des pipettes viennent de l’entreprise A et 4,6% des pipettes de cette entreprise possèdent un défaut. Dans le stock total du laboratoire, 5% des pièces présentent un défaut. On choisit au hasard une pipette dans le stock du laboratoire et on note :

A l’évènement : « La pipette est fournie par l’entreprise A » ;

B l’évènement : « La pipette est fournie par l’entreprise B » ;

D l’évènement : « La pipette a un défaut ».

1. La pipette choisie au hasard présente un défaut ; quelle est la probabilité qu’elle vienne de l’entreprise A ?

2. Montrer que p(B D)= 0,0224. 3. Parmi les pipettes venant de l’entreprise B, quel pourcentage de pipettes pré-

sente un défaut ?

Partie C

Une pipette est dite conforme si sa contenance est comprise, au sens large entre 98 millilitres (mL) et 102 mL. Soit X la variable aléatoire qui à chaque pipette prise au hasard dans le stock d’un laboratoire associe sa contenance (enmillilitres). On admet que X suit une loi normale de moyenne µ et écart type σ tels que µ= 100 et σ2 = 1,0424.

Nouvelle-Calédonie 2 7 mars 2014

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1. Quelle est alors la probabilité, à 10−4 près, pour qu’une pipette prise au ha- sard soit conforme ? On pourra s’aider de la table ci-dessous ou utiliser une calculatrice.

Contenance x (en mL)

95 96 97 98 99

P (X 6 x) (

arrondi à 10−5 ) 0,00000 0,00004 0,00165 0,02506 0,16368

Contenance x (en mL)

100 101 102 103 104

P (X 6 x) (

arrondi à 10−5 ) 0,5 0,83632 0,97494 0,99835 0,99996

Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu’unepipette soit non-conforme est p = 0,05.

2. On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taille n, où n est un entier naturel supérieur ou égal à 100. On suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme indépendants.

Soit Yn la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille n associe le nombre de pipettes non-conformes de l’échantillon.

a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire Yn ?

b. Vérifier que n> 30, np > 5 et n(1−p)> 5. c. Donner en fonction de n l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil

de 95% de la fréquence des pipettes non-conformes dans un échantillon.

EXERCICE 3 5 points

Commun à tous les candidats

Partie A

Soit f la fonction dérivable, définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

f (x)= x ln(x).

1. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞. 2. On appelle f ′ la fonction dérivée de f sur ]0 ; +∞[. Montrer que

f ′(x)= ln(x)+1. 3. Déterminer les variations de f sur ]0 ; +∞[.

Partie B

Soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal. Soit A l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations respectives x = 1 et x = 2. On utilise l’algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une va- leur approchée de l’aire A . (voir la figure ci-après).

Nouvelle-Calédonie 3 7 mars 2014

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1

1 2 3O

C

Algorithme :

Variables

k et n sont des entiers naturels U ,V sont des nombres réels

Initialisation

U prend la valeur 0 V prend la valeur 0 n prend la valeur 4

Traitement

Pour k allant de 0 à n−1 Affecter àU la valeurU + 1

n f (

1+ k n

)

Affecter à V la valeur V + 1n f (

1+ k+1n )

Fin pour Affichage

AfficherU Afficher V

1. a. Que représententU et V sur le graphique précédent ?

b. Quelles sont les valeursU etV affichées en sortie de l’algorithme (on don- nera une valeur approchée deU par défaut à 10−4 près et une valeur ap- prochée par excès de V à 10−4 près) ?

c. En déduire un encadrement de A .

2. Soient les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier n non nul par :

Un = 1

n

[

f (1)+ f (

1+ 1

n

)

+ f (

1+ 2

n

)

+·· ·+ f (

1+ n−1 n

)]

Vn = 1

n

[

f

(

1+ 1

n

)

+ f (

1+ 2

n

)

+·· ·+ f (

1+ n−1 n

)

+ f (2) ] .

On admettra que, pour tout n entier naturel non nul,Un 6A 6Vn .

a. Trouver le plus petit entier n tel que Vn Un < 0,1. b. Comment modifier l’algorithme précédent pour qu’il permette d’obtenir

un encadrement de A d’amplitude inférieure à 0,1 ?

Partie C

Nouvelle-Calédonie 4 7 mars 2014

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Soit F la fonction dérivable, définie sur ]0 ; +∞[ par

F (x)= x2

2 lnx

x2

4 .

1. Montrer que F est une primitive de f sur ]0 ; +∞[. 2. Calculer la valeur exacte de A .

EXERCICE 4 5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle tel que AB = 2, AD = 3 et AE = 1. On appelle respectivement I, J et P les milieux respectifs des segments [CD], [EF] et [AB].

On note Q le point défini par −−→ AQ =

1

3

−−→ AD .

A

B C

D

E

F G

H

I

J

P

Q

+

+

+

+

On appelle plan médiateur d’un segment le plan perpendiculaire à ce segment et passant par sonmilieu. L’objectif de l’exercice est de déterminer les coordonnées du centre d’une sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ (c’est-à-dire une sphère qui passe par les quatre points A, B, I, J).

L’espace est rapporté au repère orthonormal (

A ; −→ AP ,

−−→ AQ ,

−→ AE

)

.

1. Justifier que les quatre points A, B, I et J ne sont pas coplanaires.

2. Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur (P1) du segment [AB].

3. Soit (P2) le plan d’équation cartésienne 3y z−4= 0. Montrer que le plan (P2) est le plan médiateur du segment [IJ].

4. a. Démontrer que les plans (P1) et (P2) sont sécants.

b. Montrer que leur intersection est une droite (∆) dont une représentation paramétrique est

x = 1 y = t z = 3t −4

t décrit l’ensemble des nombres réels R.

c. Déterminer les coordonnées du pointΩ de la droite (∆) tel queΩA =ΩI.

d. Montrer que le point Ω est centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ.

Nouvelle-Calédonie 5 7 mars 2014

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