Géométrie analytique - travaux pratiques sur l’évènement, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S15 April 2014

Géométrie analytique - travaux pratiques sur l’évènement, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Géométrie analytique - travaux pratiques sur l’évènement. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer la probabilité, la représentation paramétrique de la droite.
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TS-centresetrangers-juin2013 FH.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Centres étrangers \ 12 juin 2013

L’usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire no 99-186 du 16 novembre 1999. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une

part importante dans l’appréciation des copies.

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats

Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques. Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes.

Partie A

La durée de vie d’une vanne, exprimée en heures, est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ= 0,0002.

1. Quelle est la durée de vie moyenne d’une vanne ?

2. Calculer la probabilité, à 0,001 près, que la durée de vie d’une vanne soit supérieure à 6000 heures.

Partie B

Avec trois vannes identiques V1, V2 et V3, on fabrique le circuit hydraulique ci-contre. Le circuit est en état de marche si V1 est en état d arche ou si V2 et V3 le sont simultanément.

V1

V2 V3

On assimile à une expérience aléatoire le fait que chaque vanne est ou n’est pas en état demarche après 6000 heures. On note :

F1 l’évènement : « la vanne V1 est en état de marche après 6000 heures ». • F2 l’évènement : « la vanne V2 est en état de marche après 6000 heures ». • F3 l’évènement : « la vanne V3 est en état de marche après 6000 heures ». • E : l’évènement : « le circuit est en état de marche après 6000 heures ».

On admet que les évènements F1, F2 et F3 sont deux à deux indépendants et ont chacun une probabilité égale à 0,3.

1. L’arbre probabiliste ci-contre représente une partie de la situation.

Reproduire cet arbre et placer les probabilités sur les branches.

2. Démontrer que P (E )= 0,363.

3. Sachant que le circuit est en état de marche après 6000 heures, calculer la probabilité que la vanne V1 soit en état de marche à ce moment là. Arrondir aumillième.

F1

F1 F2

F3

Partie C

1

L’industriel affirme que seulement 2% des vannes qu’il fabrique sont défectueuses. On suppose que cette affirmation est vraie, et l’on note F la variable aléatoire égale à la fréquence de vannes défectueuses dans un échantillon aléatoire de 400 vannes prises dans la production totale.

1. Déterminer l’intervalle I de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la variable F ,

2. On choisit 400 vannes au hasard dans la production, On assimile ce choix à un tirage aléatoire de 400 vannes, avec remise, dans la production.

Parmi ces 400 vannes, 10 sont défectueuses.

Au vu de ce résultat peut-on remettre en cause. au seuil de 95%, l’affirmation de l’industriel ?

Partie D

Dans cette partie, les probabilités calculées seront arrondies au millième.

L’industriel commercialise ses vannes auprès de nombreux clients, La demande mensuelle est une va- riable aléatoireD qui suit la loi normale d’espérance µ= 800 et d’écart-type σ= 40.

1. Déterminer P (7606D 6 840).

2. Déterminer P (D 6 880).

3. L’industriel pense que s’il constitue un stock mensuel de 880 vannes, il n’aura pas plus de 1% de chance d’être en rupture de stock. A-t-il raison ?

Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats

Les quatre questions sont indépendantes.

Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la

réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère — les points A (12 ; 0 ; 0), B (0 ; −15 ; 0), C (0 ; 0 ; 20), D (2 ; 7 ; −6), E (7 ; 3 ; −3) ; — le plan P d’équation cartésienne : 2x+ y −2z−5= 0

Affirmation 1 Une équation cartésienne du plan parallèle à P et passant par le point A est :

2x+ y +2z−24 = 0

Affirmation 2

Une représentation paramétrique de la droite (AC) est :

x = 9−3t y = 0 z = 5+5t

, t ∈R.

Affirmation 3 La droite (DE) et le plan P ont aumoins un point commun. Affirmation 4 La droite (DE) est orthogonale au plan (ABC).

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats

On considère la fonction g définie pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] par :

g (x)= 1+e−x .

On admet que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], g (x)> 0.

2

On note C la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthogonal, et D le domaine plan com- pris d’une part entre l’axe des abscisses et la courbe C , d’autre part entre les droites d’équation x = 0 et x = 1. La courbe C et le domaine D sont représentés ci- contre.

1

2

1

C

D

x

y

0

Le but de cet exercice est de partager le domaine D en deux domaines de même aire, d’abord par une droite parallèle à l’axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l’axe des abscisses (partie B).

Partie A

Soit a un réel tel que 06 a6 1. On note A1 l’aire du domaine compris entre la courbe C , l’axe (Ox),les droites d’équation x = 0 et x = a , puis A2 celle du domaine compris entre la courbe C , (Ox) et les droites d’équation x = a et x = 1. A1 et A2 sont exprimées en unités d’aire.

1

2

1

A1 A2

C

a x

y

0

1. a. Démontrer que A1 = a−e−a +1.

b. Exprimer A2 en fonction de a.

2. Soit f la fonction définie pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] par :

f (x)= 2x−2e−x + 1

e .

a. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1]. On précisera les valeurs exactes de f (0) et f (1).

b. Démontrer que la fonction f s’annule une fois et une seule sur l’intervalle [0 ; 1]. en un réel α. Donner la valeur de α arrondie au centième.

3. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel a pour lequel les aires A1 et A2 sont égales.

Partie B

Soit b un réel positif. Dans cette partie, on se propose de partager le domaineD en deux domaines demême aire par la droite d’équation y = b. On admet qu’il existe un unique réel b positif solution.

1. Justifier l’inégalité b < 1+ 1

e . On pourra utiliser un argument graphique.

2. Déterminer la valeur exacte du réel b.

3

Exercice 4 5 points

Candidats n’avant pas choisi la spécialitémathématique

L’objet de cet exercice est l’étude de la suite (un ) définie par son premier terme

u1 = 3

2 et la relation de récurrence : un+1 =

nun +1

2(n+1) .

Partie A - Algorithmique et conjectures

Pour calculer et afficher le terme u9 de la suite, un élève propose l’algorithme ci-contre. Il a oublié de compléter deux lignes.

Variables n est un entier naturel u est un réel

Initialisation Affecter à n la valeur 1 Affecter à u la valeur 1,5

Traitement Tant que n < 9 Affecter à u la valeur

. . . Affecter à n la valeur

. . . Fin Tant que

Sortie Afficher la variable u

1. Recopier et compléter les deux lignes de l’algorithme où figurent des points de suspension.

2. Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu’il calcule et affiche tous les termes de la suite de u2 jusqu’à u9 ?

3. Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième :

n 1 2 3 4 5 6 . . . 99 100 un 1,5 0,625 0,375 0,2656 0,2063 0,1693 . . . 0,0102 0,0101

Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (un ).

Partie B - Étudemathématique

On définit une suite auxiliaire (vn) par : pour tout entier n> 1, vn =nun −1.

1. Montrer que la suite (vn) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.

2. En déduire que, pour tout entier naturel n> 1, on a : un = 1+ (0,5)n

n .

3. Déterminer la limite de la suite (un ).

4. Justifier que, pour tout entier n> 1 , on a : un+1−un =− 1+ (1+0,5n)(0,5)n

n(n+1) .

En déduire le sens de variation de la suite (un ).

Partie C - Retour à l’algorithmique En s’inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d’afficher le plus petit entier n tel que un < 0,001.

Exercice 4 5 points

Candidats ayant choisi la spécialitémathématique

Une espèce d’oiseaux ne vit que sur deux îles A et B d’un archipel. Au début de l’année 2013, 20 millions d’oiseaux de cette espèce sont présents sur l’île A et 10 millions sur l’île B. Des observations sur plusieurs années ont permis aux ornithologues d’estimer que, compte tenu des naissances, décès, et migrations entre les deux îles, on retrouve au début de chaque année les propor- tions suivantes :

4

— sur l’île A : 80% du nombre d’oiseaux présents sur l’île A au début de l’année précédente et 30% du nombre d’oiseaux présents sur l’île B au début de l’année précédente ;

— sur l’île B : 20% du nombre d’oiseaux présents sur l’île A au début de l’année précédente et 70% du nombre d’oiseaux présents sur l’île B au début de l’année précédente.

Pour tout entier naturel n, on note an (respectivement bn ) le nombre d’ oiseaux (en millions) présents sur l’île A (respectivement B) au début de l’année (2013+n).

Partie A - Algorithmique et conjectures

On donne ci-contre un algorithme qui doit afficher le nombre d’oi- seaux vivant sur chacune des deux iles, pour chaque année comprise entre 2013 et une année choisie par l’utilisateur.

Début de l’algorithme

Lire n Affecter à a la valeur 20 Affecter à b la valeur 10 Affecter à i la valeur 2013 Afficher i Afficher a Afficher b Tant que i <n faire

Affecter à c la valeur (0,8a+0,3b) Affecter à b la valeur (0,2a+0,7b) Affecter à a la valeur c

Fin du Tant que Fin de l ’algorithme

1. Cet algorithme comporte des oublis dans le traitement. Repérer ces oublis et les corriger.

2. On donne ci-dessous une copie d’écran des résultats obtenus après avoir corrigé l’algorithme précédent dans un logiciel d’algorithmique, l’utilisateur avant choisi l’année 2020.

⋆⋆⋆ Algorithme lancé ⋆⋆⋆ En l’année 2013, a prend la valeur 20 et b prend la valeur 10 En l’année 2014, a prend la valeur 19 et b prend la valeur 11 En l’année 2015, a prend la valeur 18,5 et b prend la valeur 11,5 En l’année 2016, a prend la valeur 18,25 et b prend la valeur 11,75 En l’année 2017, a prend la valeur 18,125 et b prend la valeur 11,875 En l’année 2018. a prend la valeur 18,0425 et b prend la valeur 11,9375 En l’année 2019, a prend la valeur 18,03125 et b prend la valeur 11,96875 En l’année 2020, a prend la valeur 18,015625 et b prend la valeur 11,984375 ⋆⋆⋆ Algorithme terminé ⋆⋆⋆

Au vu de ces résultats, émettre des conjectures concernant le sens de variation et la convergence des suites (an) et (bn).

Partie B - Étudemathématique

On noteUn la matrice colonne

(

an bn

)

.

1. Montrer que, pour tout entier naturel n,Un+1 =MUn , oùM est une matrice carrée d’ordre 2 que l’on déterminera. On admet alors queUn =MnU0 pour tout entier naturel n> 1.

2. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, justifier que, pour tout entier naturel n> 1 :

Mn =

(

0,6+0,4×0,5n 0,6−0,6×0,5n

0,4−0,4×0,5n 0,4+0,6×0,5n

)

.

On ne détaillera le calcul que pour le premier des coefficients de la matriceMn .

3. Exprimer an en fonction de n, pour tout entier naturel n> 1.

4. Avec ce modèle, peut-on dire qu’au bout d’un grand nombre d’années, le nombre d’oiseaux sur l’île A va se stabiliser ? Si oui, préciser vers quelle valeur.

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