Géométrie analytique - travaux pratiques sur la courbe représentative de la fonction , Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S15 April 2014

Géométrie analytique - travaux pratiques sur la courbe représentative de la fonction , Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Géométrie analytique - travaux pratiques sur la courbe représentative de la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étudier les limites de la fonction, Déterminer les coordonnées des points d’intersect...
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Polynesie S 7 juin 2013.dvi

[ Baccalauréat S Polynésie \ 7 juin 2013

EXERCICE 1 6 points

Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur R par

f (x)= (x+2)e−x .

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

1. Étude de la fonction f .

a. Déterminer les coordonnées des points d’intersectionde la courbeC avec les axes du repère.

b. Étudier les limites de la fonction f en −∞ et en +∞. En déduire les éven- tuelles asymptotes de la courbe C .

c. Étudier les variations de f sur R.

2. Calcul d’une valeur approchée de l’aire sous une courbe.

On note D le domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équation x = 0 et x = 1. On approche l’aire du domaine D en calcu- lant une somme d’aires de rectangles.

a. Dans cette question, on découpe l’intervalle [0 ; 1] en quatre intervalles de même longueur :

• Sur l’intervalle

[

0 ; 1

4

]

, on construit un rectangle de hauteur f (0)

• Sur l’intervalle

[

1

4 ; 1

2

]

, on construit un rectangle de hauteur f

(

1

4

)

• Sur l’intervalle

[

1

2 ; 3

4

]

, on construit un rectangle de hauteur f

(

1

2

)

• Sur l’intervalle

[

3

4 ; 1

]

, on construit un rectangle de hauteur f

(

3

4

)

Cette construction est illustrée ci-dessous.

C

1

2

1O

L’algorithme ci-dessous permet d’obtenir une valeur approchée de l’aire du domaine D en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents :

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Variables : k est un nombre entier S est un nombre réel

Initialisation : Affecter à S la valeur 0 Traitement : Pour k variant de 0 à 3

Affecter à S la valeur S+ 1

4 f

(

k

4

)

Fin Pour Sortie : Afficher S

Donner une valeur approchée à 10−3 près du résultat affiché par cet algo- rithme.

b. Dans cette question, N est un nombre entier strictement supérieur à 1. On découpe l’intervalle [0 ; 1] en N intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu’à la question 2.a.

Modifier l’algorithme précédent afin qu’il affiche en sortie la somme des aires des N rectangles ainsi construits.

3. Calcul de la valeur exacte de l’aire sous une courbe.

Soit g la fonction définie sur R par

g (x)= (−x−3)e−x .

On admet que g est une primitive de la fonction f sur R.

a. Calculer l’aire A du domaine D , exprimée en unités d’aire.

b. Donner une valeur approchée à 10−3 près de l’erreur commise en rem- plaçant A par la valeur approchée trouvée au moyen de l’algorithme de la question 2. a, c’est-à-dire l’écart entre ces deux valeurs.

Exercice 2 : 4 points

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choixmultiples. Aucune justification n’est deman-

dée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. Chaque

réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n’ôte pas de point. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la

réponse choisie.

1. Soit z1 = p 6ei

π

4 et z2 = p 2e−i

π

3 . La forme exponentielle de i z1

z2 est :

a. p 3ei

19π 12 b.

p 12e−i

π

12 c. p 3ei

7π 12 d.

p 3ei

13π 12

2. L’équation −z = z, d’inconnue complexe z, admet :

a. une solution

b. deux solutions

c. une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite.

d. une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle.

3. Dansun repère de l’espace, on considère les trois points A(1 ; 2 ; 3),B(−1 ; 5 ; 4) et C (−1 ; 0 ; 4). La droite parallèle à la droite (AB) passant par le point C a pour représentation paramétrique :

Polynésie 2 7 juin 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

a.

x =−2t −1

y = 3t

z = t +4

, t ∈R b.

x =−1

y = 7t

z = 7t +4

, t ∈R

c.

x =−1−2t

y = 5+3t

z = 4+ t

, t ∈R d.

x = 2t

y =−3t

z =−t

, t ∈R

4. Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère le plan P passant par

le point D(−1 ; 2 ; 3) et de vecteur normal −→ n (3 ; −5 ; 1), et la droite ∆ de

représentation paramétrique

x = t −7

y = t +3

z = 2t +5

, t ∈R.

a. La droite ∆ est perpendiculaire au plan P .

b. La droite ∆ est parallèle au plan P et n’a pas de point commun avec le plan P .

c. La droite ∆ et le plan P sont sécants.

d. La droite ∆ est incluse dans le plan P .

Polynésie 3 7 juin 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Exercice 3 : 5 points

Commun à tous les candidats

Les 3 parties peuvent être traitées de façon indépendante.

Thomas possède un lecteurMP3 sur lequel il a stocké plusieursmilliers demorceaux musicaux. L’ensemble des morceaux musicaux qu’il possède se divise en trois genres distincts selon la répartition suivante :

30 % demusique classique, 45 % de variété, le reste étant du jazz.

Thomas a utilisé deux qualités d’encodage pour stocker sesmorceauxmusicaux : un encodage de haute qualité et un encodage standard. On sait que :

• les 5

6 des morceaux de musique classique sont encodés en haute qualité.

• les 5

9 des morceaux de variété sont encodés en qualité standard.

On considérera les évènements suivants :

C : « Le morceau écouté est unmorceau demusique classique » ;

V : « Le morceau écouté est un morceau de variété » ;

J : « Le morceau écouté est unmorceau de jazz » ;

H : « Le morceau écouté est encodé en haute qualité » ;

S : « Le morceau écouté est encodé en qualité standard ».

Partie 1

Thomas décide d’écouter un morceau au hasard parmi tous les morceaux stockés sur son MP3 en utilisant la fonction « lecture aléatoire ». On pourra s’aider d’un arbre de probabilités.

1. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un morceau de musique classique encodé en haute qualité ?

2. On sait que P (H)= 13

20 .

a. Les évènements C et H sont-ils indépendants ?

b. Calculer P (J H) et P J (H).

Partie 2

Pendant un long trajet en train, Thomas écoute, en utilisant la fonction « lecture aléatoire » de son MP3, 60 morceaux de musique.

1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la pro- portion demorceaux de musique classique dans un échantillon de taille 60.

2. Thomas a comptabilisé qu’il avait écouté 12 morceaux demusique classique pendant son voyage. Peut-on penser que la fonction « lecture aléatoire » du lecteur MP3 de Thomas est défectueuse ?

Partie 3

Onconsidère la variable aléatoire X qui, à chaque chanson stocké sur le lecteurMP3, associe sa durée exprimée en secondes et on établit que X suit la loi normale d’es- pérance 200 et d’écart-type 20.

On pourra utiliser le tableau fourni en annexe dans lequel les valeurs sont arrondies

au millième le plus proche.

On écoute un morceaumusical au hasard.

1. Donner une valeur approchée à 10−3 près de P (1806 X 6 220).

2. Donner une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité que le morceau écouté dure plus de 4minutes.

Polynésie 4 7 juin 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Exercice 4 : 5 points

Candidats n’ayant pas suivis l’enseignement de spécialité mathématiques

On considère la suite (un ) définie par u0 = 1

2 et telle que pour tout entier naturel n,

un+1 = 3un

1+2un

1. a. Calculer u1 et u2.

b. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0<un .

2. On admet que pour tout entier naturel n, un < 1.

a. Démontrer que la suite (un ) est croissante.

b. Démontrer que la suite (un ) converge.

3. Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn = un

1−un .

a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 3.

b. Exprimer pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.

c. En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 3n

3n +1 .

d. Déterminer la limite de la suite (un ).

Polynésie 5 7 juin 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Exercice 4 : 5 points

Candidats ayant suivis l’enseignement de spécialité mathématiques

Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l’évolution de nombre de ses abon- nés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013. En 2013, les opérateurs A et B ont chacun 300 milliers d’abonnés.

Pour tout entier naturel n, on note an le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opéra- teur A la n-ième année après 2013, et bn le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opé- rateur B la n-ième année après 2013. Ainsi, a0 = 300 et b0 = 300.

Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situa- tion par la relation suivante :

pour tout entier naturel n,

{

an+1 = 0,7an +0,2bn +60

bn+1 = 0,1an +0,6bn +70 .

On considère les matrices M =

(

0,7 0,2 0,1 0,6

)

et P =

(

60 70

)

.

Pour tout entier naturel n, on noteUn =

(

an bn

)

.

1. a. DéterminerU1.

b. Vérifier que, pour tout entier naturel n,Un+1 =M ×Un +P .

2. On note I la matrice

(

1 0 0 1

)

.

a. Calculer (I M

(

4 2 1 3

)

.

b. En déduire que la matrice I M est inversible et préciser son inverse.

c. Déterminer la matriceU telle queU =M ×U +P .

3. Pour tout entier naturel, on pose Vn =Un U .

a. Justifier que, pour tout entier naturel n, Vn+1 =M ×Vn .

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, Vn =Mn ×V0.

4. On admet que, pour tout entier naturel n,

Vn =

−100

3 ×0,8n

140

3 ×0,5n

−50

3 ×0,8n +

140

3 ×0,5n

a. Pour tout entier naturel n, exprimerUn en fonction de n et en déduire la limite de la suite (an).

b. Estimer le nombre d’abonnés de l’opérateur A à long terme.

Polynésie 6 7 juin 2013

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

ANNEXE de l’exercice 3

X est une variable aléatoire normale d’espérance 200 et d’écart-type 20.

b P (X 6 b) 140 0,001 150 0,006 160 0,023 170 0,067 180 0,159 190 0,309 200 0,500 210 0,691 220 0,841 230 0,933 240 0,977 250 0,994 260 0,999

Polynésie 7 7 juin 2013

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