Géométrie analytique - travaux pratiques sur la fonction définie et dérivable, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S15 April 2014

Géométrie analytique - travaux pratiques sur la fonction définie et dérivable, Exercices de Géométrie analytique et calcul

PDF (178.2 KB)
6 pages
204Numéro de visites
Description
Géométrie analytique - travaux pratiques sur la fonction définie et dérivable. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le point d’abscisse, la lecture graphique, la courbe représentative de la fonction.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 6
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Metropole S sept 2013.dvi

[ Baccalauréat SMétropole 12 septembre 2013\

EXERCICE 1 6 points

Commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie et dérivable sur R. On note C sa courbe représentative dans le plan muni

d’un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie A

Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe C et trois autres courbes C1, C2, C3 avec la tangente en leur point d’abscisse 0.

O −→ ı

−→

C

O −→ ı

−→

d1

C1

O −→ ı

−→

d2

C2 O −→

ı

−→

d3

C3

1. Donner par lecture graphique, le signe de f (x) selon les valeurs de x.

2. On désigne par F une primitive de la fonction f sur R.

a. À l’aide de la courbe C , déterminer F ′(0) et F ′(−2). b. L’une des courbes C1, C2, C3 est la courbe représentative de la fonction F .

Déterminer laquelle en justifiant l’élimination des deux autres.

Partie B

Dans cette partie, on admet que la fonction f évoquée dans la partie A est la fonction définie sur R par

f (x)= (x+2)e 1 2 x .

1. L’observation de la courbe C permet de conjecturer que la fonction f admet un minimum.

a. Démontrer que pour tout réel x, f ′(x)= 1

2 (x+4)e

1 2 x .

b. En déduire une validation de la conjecture précédente.

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2. On pose I = ∫1

0 f (x)dx.

a. Interpréter géométriquement le réel I .

b. Soient u et v les fonctions définies sur R par u(x)= x et v(x)= e 1

2 x .

Vérifier que f = 2 (

uv +uv ′ )

.

c. En déduire la valeur exacte de l’intégrale I .

3. On donne l’algorithme ci-dessous.

Variables : k et n sont des nombres entiers naturels. s est un nombre réel.

Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur de n. Initialisation : Affecter à s la valeur 0. Traitement : Pour k allant de 0 à n−1

| Affecter à s la valeur s+ 1

n f

(

k

n

)

.

Fin de boucle. Sortie : Afficher s.

On note sn le nombre affiché par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre un entier naturel stric- tement positif comme valeur de n.

a. Justifier que s3 représente l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le gra- phique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur.

1

1

C

b. Que dire de la valeur de sn fournie par l’algorithme proposé lorsque n devient grand ?

EXERCICE 2 4 points

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chaque question, trois réponses sont proposées et une seule d’entre elles est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie et justifiera son

choix.

li est attribué un point par réponse correcte et convenablement justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

Pour les questions 1 et 2, l’espace est muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

, La droite D est définie par la représentation paramétrique

x = 5−2t y = 1+3t z = 4

, t ∈R.

Métropole 2 12 septembre 2013

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1. On note P le plan d’équation cartésienne 3x+2y + z−6 = 0. a. La droiteD est perpendiculaire au plan P .

b. La droiteD est parallèle au plan P .

c. La droiteD est incluse dans le plan P .

2. On note D′ la droite qui passe par le point A de coordonnées (3 ; 1 ; 1) et a pour vecteur directeur −→ u = 2

−→ i

−→ j +2

−→ k .

a. Les droites D et D′ sont parallèles.

b. Les droites D et D′ sont sécantes.

c. Les droites D et D′ ne sont pas coplanaires.

Pour les questions 3 et 4, le plan est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O.

3. Soit E l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant |z+ i| = |z− i|. a. E est l’axe des abscisses.

b. E est l’axe des ordonnées.

c. E est le cercle ayant pour centre O et pour rayon 1.

4. On désigne par B et C deux points du plan dont les affixes respectives b et c vérifient l’égalité

c

b = p 2e

i π

4 .

a. Le triangle OBC est isocèle en O.

b. Les points O, B, C sont alignés.

c. Le triangle OBC est isocèle et rectangle en B.

EXERCICE 3 5 points

Commun à tous les candidats

Dans une usine, on utilise deux machines A et B pour fabriquer des pièces.

1. La machine A assure 40% de la production et la machine B en assure 60%.

On estime que 10% des pièces issues de la machine A ont un défaut et que 9% des pièces issues de la machine B ont un défaut.

On choisit une pièce au hasard et on considère les évènements suivants :

A : « La pièce est produite par la machine A » — B : « La pièce est produite par la machine B » — D : « La pièce a un défaut ». — D, l’évènement contraire de l’évènement D.

a. Traduire la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

b. Calculer la probabilité que la pièce choisie présente un défaut et ait été fabriquée par la ma- chine A.

c. Démontrer que la probabilité P (D) de l’évènement D est égale à 0,094.

d. On constate que la pièce choisie a un défaut.

Quelle est la probabilité que cette pièce provienne de la machine A ?

2. On estime que la machine A est convenablement réglée si 90% des pièces qu’elle fabrique sont conformes.

On décide de contrôler cettemachine en examinant n pièces choisies au hasard (n entier naturel) dans la production de la machine A. On assimile ces n tirages à des tirages successifs indépen- dants et avec remise.

On note Xn le nombre de pièces qui sont conformes dans l’échantillon de n pièces, et Fn = Xn

n la

proportion correspondante.

a. Justifier que la variable aléatoire Xn suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

Métropole 3 12 septembre 2013

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

b. Dans cette question, on prend n = 150. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique I au seuil de 95% de la variable aléatoire F150.

c. Un test qualité permet de dénombrer 21 pièces non conformes sur un échantillon de 150 pièces produites.

Cela remet-il en cause le réglage de la machine ? Justifier la réponse.

EXERCICE 4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite (un ) définie sur N par :

u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = un +2 2un +1

.

On admet que pour tout entier naturel n,un > 0.

1. a. Calculer u1,u2,u3,u4. On pourra en donner une valeur approchée à 10−2 près.

b. Vérifier que si n est l’un des entiers 0, 1, 2, 3, 4 alors un −1 a le même signe que (−1)n .

c. Établir que pour tout entier naturel n,un+1−1= −un +1 2un +1

.

d. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un −1 a le même signe que (−1)n

2. Pour tout entier naturel n, on pose vn = un −1 un +1

.

a. Établir que pour tout entier naturel n,vn+1 = −un +1 3un +3

.

b. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison − 1

3 .

En déduire l’expression de vn en fonction de n.

c. On admet que pour tout entier naturel n,un = 1+ vn 1− vn

.

Exprimer un en fonction de n et déterminer la limite de la suite (un ).

EXERCICE 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre

Dans un village imaginaire isolé, une nouvelle maladie contagieuse mais nonmortelle a fait son appari- tion. Rapidement les scientifiques ont découvert qu’un individu pouvait être dans l’un des trois états sui- vants :

S : « l’individu est sain, c’est-à-dire non malade et non infecté »,

I : « l’individu est porteur sain, c’est-à-dire non malade mais infecté »,

M : « l’individu est malade et infecté ».

Partie A

Les scientifiques estiment qu’un seul individu est à l’origine de la maladie sur les 100 personnes que compte la population et que, d’une semaine à la suivante, un individu change d’état suivant le processus suivant :

— parmi les individus sains, la proportion de ceux qui deviennent porteurs sains est égale à 1

3 et la

proportion de ceux qui deviennent malades est égale à 1

3 ,

Métropole 4 12 septembre 2013

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

— parmi les individus porteurs sains, la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à 1

2 .

La situation peut être représentée par un graphe probabiliste comme ci-dessous.

S

I M

1

3

1

3

1

2

1

3

1 1

2

On note Pn = (sn in mn) la matrice ligne donnant l’état probabiliste au bout de n semaines où sn , in etmndésignent respectivement la probabilité que l’individu soit sain, porteur sain oumalade la n-ième semaine. On a alors P0 = (0,99 0 0,01) et pour tout entier naturel n,

sn+1 = 1

3 sn

in+1 = 1

3 sn +

1

2 in

mn+1 = 1

3 sn +

1

2 in +mn

1. Écrire la matrice A appeléematrice de transition, telle que pour tout entier naturel n,

Pn+1 =Pn × A. 2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, Pn =PAn . 3. Déterminer l’état probabiliste P4 au bout de quatre semaines. On pourra arrondir les valeurs à

10−2.

Quelle est la probabilité qu’un individu soit sain au bout de quatre semaines ?

Partie B

La maladie n’évolue en réalité pas selon le modèle précédent puisqu’au bout de 4 semaines de re- cherche, les scientifiques découvrent un vaccin qui permet d’enrayer l’endémie et traitent immédia- tement l’ensemble de la population. L’évolution hebdomadaire de la maladie après vaccination est donnée par la matrice de transition :

B =

5

12

1

4

1

3 5

12

1

4

1

3 1

6

1

2

1

3

.

On note Qn la matrice ligne donnant l’état probabiliste au bout de n semaines après la mise en place de ces nouvelles mesures de vaccination. Ainsi,Qn = (Sn In Mn ) où Sn , In et Mn désignent respecti- vement la probabilité que l’individu soit sain, porteur sain et malade la n-ième semaine après la vacci- nation. Pour tout entier naturel n, on a alorsQn+1 =Qn ×B . D’après la partie A, Q0 = P4. Pour la suite, on prend Q0 = (0,01 0,10 0,89) où les coefficients ont été arrondis à 10–2.

1. Exprimer Sn+1, In+1 etMn+1 en fonction de Sn , In etMn .

2. Déterminer la constante réelle k telle que B2 = k J J est la matrice carrée d’ordre 3 dont tous les coefficients sont égaux à 1.

On en déduit que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, Bn =B2.

Métropole 5 12 septembre 2013

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

3. a. Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2,Qn = (

1

3

1

3

1

3

)

.

b. Interpréter ce résultat en terme d’évolution de la maladie.

Peut-on espérer éradiquer la maladie grâce au vaccin ?

Métropole 6 12 septembre 2013

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome