Géométrie - exercices 3, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Géométrie - exercices 3 sur les différentes valeurs. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le tableau de variations, le repère orthonormé.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Dijon juin 1972 \

EXERCICE 1

Le nombre z est le nombre complexe conjugué du nombre complexe z non nul ;

calculer en fonction dumodule, ρ, et de l’argument, θ, de z, le module et l’argument

du nombre complexe Z tel que

Z = z− (

cos π

3 + i sin

π

3

)

z.

EXERCICE 2

Dans le plan affine euclidien de repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, on considère l’ensemble (Γλ) des

points M dont les coordonnées (x ; y) vérifient l’équation

y2 =−2x2+2λx+1−λ2 (λ ∈R).

Préciser, suivant les différentes valeurs deλ, la nature de (Γλ) et ses éléments remar-

quables.

PROBLÈME

1. On considère l’application fn de R dans R définie par xn

fn(x)= xn

n! e1−x (n entier naturel non nul).

a. Calculer la limite de Log

[

xn

ex

]

quand x tend vers +∞.

En déduire la limite de xn

n! quand x tend vers +∞.

b. Donner le tableau de variations de fn en distinguant les deux cas sui- vants :

n est pair, et n est impair.

c. Tracer, dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, les courbes représenta-

tives des fonctions f2 et f3 ; onprécisera la position relative de ces courbes.

d. En revenant au cas général, montrer que, si 06 x 6 1, alors on a

06 fn(x)6 1

n!

2. Soit In = ∫x

0

tn

n! e1−t dt .

a. Quelle est la dérivée de l’application de R dans R qui à t associe e1−t ?

En déduire, à l’aide d’une intégration par parties, la valeur de I1.

b. Demême, en intégrant In par parties, vérifier la relation de récurrence

In In−1 =− xn

n! e1−x .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

c. Démontrer que l’on a

In = e−e 1−x

[

1+ x

1! +·· ·+

xn

n!

]

c’est-à -dire

In = e−e 1−x

p=n

p=0

xn

p ! .

Quelle est la limite, pour n fixé, de In quand x tend vers +∞ ?

3. Dans toute cette question, on donne à x la valeur 1 et l’on pose

Jn =

∫1

0

tn

n! e1−t dt .

a. Démontrer que 06 Jn 6 1

n! .

En déduire, en utilisant le calcul de In , que

06 e−

[

n

p=0

1

p !

]

6 1

n!

et

[

n

p=0

1

p !

]

6 e6

[

n

p=0

1

p !

]

+

1

n! .

b. Quelle est la limite, quand n tend vers +∞, de

[

n

p=0

1

p !

]

?

c. En calculant

[

7 ∑

p=0

1

p !

]

donner le meilleur encadrement, permis par ce

calcul, du nombre e.

Dijon 2 juin 1972

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