Géométrie - exercices 6, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Géométrie - exercices 6 sur le plan complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la nature de la transformation, la fonction g , les variations de cette fonction.
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[ Baccalauréat C Grenoble juin 1972 \

EXERCICE 1

Dans le plan complexe, au pointm, d’affixe z, on fait correspondre le point M , d’af- fixe Z , par la transformation Tk définie par

Z = kiz+1+k2,

k étant un paramètre réel strictement positif et i le nombre complexe de module 1

et d’argument π

2 .

1. Quelle est la nature de la transformationTk ?Montrer queTk possède unpoint invariant, et un seul, ωk , que l’on déterminera. Préciser les éléments caracté- ristiques de Tk .

2. Déterminer l’ensemble des points ωk , lorsque k décrit l’ensemble des réels positifs.

3. k1 et k2 étant deux réels strictement positifs, on considère la transformation Tk2 ◦Tk1 composée de Tk1 et Tk2 (dans cet ordre).

Montrer que Tk1 ◦Tk2 = Tk2 ◦Tk1 si, et seulement si, k1 = k2.

Quelle est la nature de la transformation Tk Tk ?

EXERCICE 2

L’ensemble N⋆ désigne l’ensemble des entiers naturels non nuls.

1. x et y étant deux éléments de N⋆, premiers entre eux, démontrer que les en- tiers x+ y et xy sont, l’un pair, l’autre impair.

2. Déterminer, dansN⋆, les diviseurs de 84 et les donner dans l’ordre croissant.

3. Déterminer dansN⋆ les entiers, a et b, vérifiant simultanément les conditions

(1) a+b = 84, (2) M = ∆2,

M est le plus petit commun multiple de a et de b, et ∆ est leur plus grand commun diviseur.

On pourra poser a =∆a′ et b =∆b′.

PROBLÈME

On rappelle que R désigne l’ensemble des réels, R+ l’ensemble des réels positifs ou nuls et Log x le logarithme népérien du nombre réel positif x.

Partie A

On considère la fonction g , de R+ dans R+, telle que

g (t)= 2t

1+ t −Log(1+ t).

1. Étudier les variations de cette fonction.

Montrer qu’il existe un nombre a unique tel que a > 1 et g (a)= 0.

Montrer que 4 est une valeur approchée à 0,1 près de a. Les calculs devront figurer sur la copie ; indiquer la table numérique utilisée.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Calculer la limite de g (t)

t

a. quand t tend vers zéro,

b. quand t tend vers +∞.

Construire la courbe (C ) représentative de la fonction g dans un repère

orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

du plan affine euclidien. On choisira ∥

−→ ı

∥ = 1 et ∥

−→ ı

∥= 10, l’unité de longueur étant le centimètre.

3. En remarquant que l’on a t

t +1 = 1−

1

1+ t , calculer l’aire, S, du domaine limité

par l’axe des abscisses t ′Ot et l’arc de la courbe (C ) dont les points ont une ordonnée positive ou nulle.

Exprimer S sous la forme d’une fraction rationnelle de a.

Partie B

On considère la fonction f , de R dans R, définie par

(x)= e−xLog (

1+e2x )

.

1. Vérifier que f ′′(x) a le même signe que g (

e2x )

.

En déduire le sens de variation de la fonction f .

Montrer que le maximum de f (x) est 2 p a

1+a .

2. Déterminer la limite de f (x)

a. quand x tend vers+∞ ; on pourra remarquer que 1+e2x = e2x (

1+e−2x )

;

b. quand x tend vers −∞ ; on pourra poser e2x =u et faire apparaître

Log (1+u).

Grenoble 2 juin 1972

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