Géométrie - exercices 7, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Géométrie - exercices 7 sur les éléments de l’ensemble Z. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation, les diviseurs de zéro dans l’anneau Z.
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[ Baccalauréat C Lille juin 1972 \

EXERCICE 1

On notera 0, 1, 2, . . . , (n−1) les éléments de l’ensemble Z/nZ.

1. Résoudre, dans Z/7Z, l’équation

x2+2x−3= 0.

2. Trouver les diviseurs de zéro dans l’anneau Z/21Z. 30 Résoudre, dans Z/21Z, l’équation

x2+2x−3= 0.

EXERCICE 2

On considère la fonction numérique f , d’une variable réelle, définie par

f (x)= 2xxLog x

(Log x désigne le logarithme népérien de x).

1. Déterminer les limites de f (x) et de f (x)

x quand x tend vers 0 et quand x tend

vers +∞. Étudier les variations de la fonction f et construire sa représentation graphique

(C) dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

; l’unité de longueur étant le seg-

ment dont la mesure, en centimètres, est 1

2 .

Déterminer les coordonnées du point P, intersection de la courbe (C) et de l’axe des abscisses.

2. En utilisant une intégration par parties, trouver l’aire, A (λ), du domaine plan défini par

λ6 y 6 e2, et 06 y 6 f (x)

et λ satisfaisant à la condition 0< λ< e2. Déterminer la limite, A , de A (λ) quand λ tend vers 0.

On donnera une valeur approchée de A en centimètres carrés avec la préci- sion que permet la donnée de e, à 2.10−4 près, e ≈ 2,718.

PROBLÈME

Partie A

Soit (P) le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. On dé-

signe par l’application de (P) dans (P) qui, au pointM de coordonnées x et y , associe le point M ′ de coordonnées x′ et y ′ définies par les relations

x′ = 2x+3y et y ′ = x+2y.

On note M ′ = f (M).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Quel est l’ensemble des points invariants de l’application f ?

Montrer que f est une application affine de (P) dans (P) et qu’elle est bijective.

Quelle est l’image d’une droite par f ?

Quelle est l’image d’une paire de droites parallèles ?

2. a. On se propose de chercher s’il existe des points, M dont les transformés, M ′, par f satisfont à une relation de la forme

(1) −−−→ OM ′ = k

−−−→ OM ,

k étant une constante donnée non nulle.

Montrer qu’il existe, pour la constante k, deux valeurs possibles, et deux

seulement, k1 et k2, si l’on impose à −−−→ OM d’être non nul.

Déterminer, pour chacune de ces deux valeurs, les ensembles (D) et (D ′) des points M satisfaisant à (1).

Mon !rer que (D) a pour vecteur directeur −→ I =

p 3

2

−→ ı

1

2

−→ et que (D ′) a

pour vecteur directeur −→ J =

p 3

2

−→ ı +

1

2

−→ .

Quelles sont les restrictions de f respectivement à (D) et à (D ′) ?

b. Le plan (P) étant rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, les coordonnées d’un

point quelconque,M , sont désignées par X et par Y , celles deM ′ = f (M) par X ′ et par Y ′ ; montrer que l’on a

X ′ = (

2− p 3 )

X et Y ′ = (

2+ p 3 )

Y .

3. On suppose M non situé sur (D) ou sur (D ′).

a. Montrer que M et M ′ appartiennent à une hyperbole, (H), asymptote aux droites (D) et (D ′).

b. Soit (H) l’hyperbole d’équation XY = h dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. Mon-

trer que l’équation de la droite, (∆), tangente à (H) au point M0 (X0 ; Y0) peut s’écrire sous la forme

X

2X0 +

Y

2Y0 −1= 0.

En déduire que la droite (

∆ ′), image de (∆) par f , esL tangente à (H) au

point M ′0 = f (M0). 4. Soit (L) une droite qui coupe (D) et (D ′) respectivement en A et en B. On note

A′ = f (A) et B′ = f (B). Montrer que, s’il existe un réel λ tel que −−→ AM = λ

−−→ AB ,

alors −−−→ A′M ′ =λ

−−−→ A′B′ .

La droite (L) étanL donnée, montrer qu’il existe une similitude, g , telle que, quel que soit M ∈ (L), on aM ′ = g (M).

Partie B

On pose u0 = 1 et v0 = 0. Les formules de récurrence,

un+1 = 2un +3vn et vn+1 =un +2vn ,

définissent deux suites illimitées d’entiers naturels (u0, u1, . . . , un , . . .) et (v0, v1, . . . , vn , . . .).

1. Montrer que, ∀n ∈N, u2n −3v2n = 1.

Lille 2 juin 1972

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Établir les formules de récurrence

un+1+un−1 = 4un et vn+1+ vn−1 = 4vn .

3. On désigne par An le point de coordonnées x = un et y = vn dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

de la partie A.

Montrer que les points A0, A1, A2, . . . , An , . . . appartiennent à une même co- nique. Préciser éventuellement les asymptotes.

Montrer que la droite (OAn) passe par le milieu du segment [An−1An+1]. En déduire une construction du point An+1 à partir des points An−1 et An .

Lille 3 juin 1972

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