Géométrie - exercices 8, Exercices de Géométrie analytique et calcul

Géométrie - exercices 8, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Géométrie - exercices 8 sur l'espace vectoriel. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le noyau et l’image de f , le logarithme népérien de x.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Limoges juin 1972 \

EXERCICE 1

L’espace −→

E3 est un espace vectoriel de dimension 3, rapporté à unebaseB = (

−→

ı , −→

, −→

k )

,

et −→

E2 est un espace vectoriel de dimension 2, rapporté à une base B ′ =

(

−→

ı ′ , −→

)

.

On considère l’application linéaire, f , de −→

E3 vers −→

E2 , qui associe à tout vecteur −→

u de −→

E3 , ayant pour composantes scalaires (x ; y ; z), le vecteur f (

−→

u )

= x′ −→

ı ′ + y ′ −→

′ , les

composantes x′ et y ′ étant déterminées par

x′ = 2xy z et y ′ =−x+2y + z.

Déterminer le noyau et l’image de f .

EXERCICE 2

On considère la fonction f , définie, pour x réel positif, par

f (x)= x[x−E(x)],

en désignant par E(x) le plus grand entier inférieur ou égal à x.

1. Dans le plan affine, rapporté à un repère orthonormé, construire le graphique de f pour x ∈ [0 ; 3[.

2. Soit k un entier positif ; donner l’expression de f (x) pour x ∈ [k ; k +1[, puis

calculer uk =

k+1

k f (x)dx.

Calculer (uk+1−uk ) ; en déduire que la suite finie {u0, u1, . . . , un−1} est une

suite arithmétique, dont on donnera la raison et le premier terme.

Calculer

n

0 f (x)dx, n étant un entier positif.

PROBLÈME

On considère la fonction f définie sur R+ par

{

f (0) = 0

( f (x) = x(1−Log x), x > 0,

(où le symbole Log x désigne le logarithme népérien de x).

1. Déterminer, pour x > 0, la fonction dérivée, f ′.

La fonction f est-elle continue à droite pour x = 0, dérivable à droite en ce

point ?

Construire le graphique, (C ), de f par rapport à un repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

ainsi (C ) aux points d’ordonnée nulle.

2. Calculer l’aire A(x) du domaine plan limité par l’axe Ox, la courbe (C ) et les parallèles à l’axe Oy d’abscisses respectives x et e. On définit ainsi une fonc-

tion A, qui, à x > 0, fait correspondre A(x) ; trouver la limite A0 de A quand x

tend vers 0 ; déterminer x > e, pour que A(x) soit égal à A0.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. a. Vérifier que, pour tout x strictement positif, f (x)− x f ′(x)− x = 0.

En déduire l’ordonnée du point, T, où la tangente à (C ) en unpoint d’abs-

cisse x coupe l’axe (

O, −→

ı )

·

b. Vérifier que toute fonction, gm , définie, pour x > 0, par

gm(x)=mxxLog x

(oùm est une constante réelle), vérifie la relation

(1) gm(x)− xg

m (x)− x = 0.

Déterminer la fonction, g , qui vérifie la relation (1) et qui prend la valeur

0 pour x = 1.

4. a. Soit (C1) le graphique de la fonction g . Montrer que (C1) est homothé- tique de (C ) dans une homothétie de centre O, dont on déterminera le

rapport.

b. Soit M un point de (C ) et N le point de même abscisse sur (C1) ; donner les coordonnées du point commun des tangentes en M et en N respec-

tivement à (C ) et à (C1).

Limoges 2 juin 1972

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