Géométrie - exercitation 1, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie - exercitation 1 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le vecteur, la direction fixe.
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[ Baccalauréat C Caen juin 1981 \

EXERCICE 1 4 POINTS

P est un plan affine muni d’un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

et f l’application affine de P dans

P qui, à tout point M de coordonnées x et y , associe le point M ′ de coordonnées x

et y ′ telles que

x′ = 4

3 x

1

3 y +

1

3 ; y ′ =−

2

2 x+

5

3 y

2

3 .

1. Déterminer l’ensemble J des points invariants par f .

2. Démontrer que le vecteur −−−−→

MM ′ appartient à une direction fixe.

3. Montrer que l’on peut trouver un couple (α ; α′) de réels vérifiant

α+α ′ = 1, tel que, pour tout pointM , le barycentre du système

{

M , α) (

M ′, α′ )}

soit invariant par f .

Endéduire une construction simple de l’imagepar f d’unpointM quelconque.

EXERCICE 2 3 POINTS

Deux entiers naturels a et b s’écrivent dans le système de numération de base n (n entier naturel supérieur ou égal à 6).

a = 2310, b = 252.

On désigne leur plus grand commun diviseur par d .

1. Démontrer que (2n+1) divise a et b et que d = 2(2n+1) ou d = 2n+1 suivant que n est pair ou impair.

2. On prend n = 6 ; résoudre dans Z2 l’équation ax+by =−26.

PROBLÈME 13 POINTS

P est un plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé R (

O, −→ ı ,

−→

)

. (unité : 4 cm. Ca est la représentation graphique dans le repère R de la fonction fa définie sur R par

fa (x)= a2ex

a2+e2x .

a est un nombre réel strictement supérieur à 0.

Partie A

1. Étudier les variations de la fonction f1.

Montrer que la courbe C1 a un axe de symétrie. Construire C1.

2. Soit g l’application de l’intervalle ]

0, ; + π

2

[

dansR définie par x 7−→ log(tanx).

Montrer que g est bijective. Soit h l’application réciproque de Montrer que h est dérivable et que sa fonction dérivée h′ est égale à f1.

3. Soit S(x) l’aire de la partie du plan P limitée par la courbeC1 l’axe des abscisses et les parallèles à l’axe des ordonnées d’abscisses respectives x et −x (x > 0).

Exprimer S(x) à l’aide de la fonction h. Trouver la limite de S(x) lorsque x tend vers +∞.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

Partie B

Soit ϕa l’application de P dans P qui, à tout point M de coordonnées x et y , associe le point M ′ de coordonnées x′ et y ′ telles que

x′ = x+ loga, y ′ = ay (a ∈R⋆ + ).

1. Montrer que l’image de la courbeC1 par ϕa est la courbeCa ·

2. Vérifier que ϕa est bijective et étudier l’application ϕa s ϕ−1a s désigne la symétrie orthogonale relativement à l’axe des ordonnées du repère R.

Déduire de cette étude que Ca a un axe de symétrie.

3. Donner le tableau de variation de fa . On appelle Sa le point deCa d’ordonnée maximum. Quel est l’ensemble des points Sa lorsque a décrit R⋆+ ?

4. Soit F l’ensemble des applications ϕa lorsque a décrit R⋆+.

Montrer queF , muni de la loi de composition des applications, est un groupe isomorphe au groupemultiplicatif R⋆

+ .

Soit a1 et a2 deux réels de R⋆+, montrer qu’il existe une application de l’en- semble F pour laquelle l’image de Ca1 est Ca2 .

5. Montrer que si a1 et a2 sont distincts, Ca1 et Ca2 n’ont pas de point commun.

Déterminer l’ensemble des points de P par lequel passe une courbeCa .

Caen 2 juin 1981

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