Géométrie - exercitation 10, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer l’intégrale, Montrer que f est une isométrie involutive.
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[ Baccalauréat C Limoges juin 1981\

EXERCICE 1

Calculer l’intégrale ∫2π

0 (π−|2xπ|)sinx dx.

EXERCICE 2

Soit un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

d’un espace affine E .

1. Soit s la symétrie orthogonale par rapport au plan P dont une équation est :

y +3z−5= 0.

Étant donné un point M de E de coordonnées (x ; y ; z), calculer les coordon- nées

(

x′ ; y ′ ; z ′ )

de son image M ′ par s.

2. On considère l’application f de l’espace affine E qui, à tout point M , de coor-

données (x ; y ; z) par rapport au repère (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, associe le point M ′′,

dont les coordonnées (

x′′ ; y ′′ ; z ′′ )

. sont données par les relations

x′′ = x ;

y ′′ = −4y +3z−3

5 ;

z ′′ = 3y +4z+1

5 .

Montrer que f est une isométrie involutive. Préciser sa nature et ses éléments remarquables.

3. Trouver la nature et les éléments remarquables de f s par des remarques géométriques simples.

PROBLÈME

Soit θ un réel de l’intervalle ]−π ; π]. On considère les suites (Zn)n∈N de nombres complexes vérifiant :

(1) ∀n ∈N, Zn+2−2Zn+1 cosθ+Zn = 0

On donne d’autre part un plan affine euclidien P de repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v )

.

Le nombre Zn est représenté par le point Mn de coordonnées xn et yn ; xn et yn désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de Zn .

Partie A

Pour les constructions demandées dans cette partie, on prendra

Z0 = 3+ i, Z1 = 1+2i.

1. On suppose dans cette question θ = 0. Construire les points M0, M1, M2, M3. Démontrer que la suite (Zn)n∈N est une suite arithmétique dont on précisera la raison.

Calculer −−−−−→ M0Mn en fonction de

−−−−−→ M0M1 et n.

2. Onsuppose dans cette question θ = π

3 . Construire les pointsM0 ,M1,M2, · · · ,M6.

Montrer que la suite (Zn)n∈N est périodique.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

3. On suppose dans cette question θ = 2π

3 . Construire les pointsM0,M1,M2,M3.

Montrer que quel que soit n, le point O est isobarycentre de Mn+1, Mn+2.

Montrer que (Zn)n∈N est périodique.

4. Résoudre dans C l’équation Z 2−2Zcosθ+1= 0. On appelle α et β ses racines. Montrer que si ∀n, Zn = λαn +µβn avec λ et µ complexes quelconques, alors la suite (Zn)n∈N vérifie la relation (1).

Partie B

On prend dans cette partie

n ∈N, Zn =λ(cos+ i sin)+(cos− i sin)

λ est un complexe donné non nul, λ= a+ ib avec a et b réels, λ son conjugué et m un réel donné.

1. Remarquer que la suite (Zn) vérifie la relation (1).

2. Calculer Xn et Yn en fonction de a, b,m, θ.

3. Exprimer coset sinen fonction de xn et xn pourm 6= 1 etm 6= −1.

4. Montrer que si m est différent de 1 et −1, les points Mn appartiennent à une conique qu’on précisera. La construire pour λ= 3+4i etm = 1/2.

5. Montrer que sim = 1 alors Zn est réel. Exprimer dans ce cas Zn en fonction de a, b, θ. Préciser Zn dans le cas où λ= 1 puis λ= i.

Partie C

On désigne par (E , +, ·) l’espace vectoriel des suites réelles et par E ′ l’ensemble des suites réelles qui vérifient la relation (1).

1. Montrer que E ′ est un espace vectoriel sur R.

2. On considère l’application :

E ′ → R2

(Un)n∈N 7−→ (U0, U1) .

Montrer que cette application est un isomorphismed’espaces vectoriels. Quelle est la dimension de E ′ ?

3. Montrer que si θ 6= 0 et θ 6= π, la question B 5. fournit deux suites linéairement indépendantes de E ′. En déduire la forme générale des suites de E ′.

4. Retrouver, pour θ = π

3 et θ =

2π

3 les périodes obtenues en A.

Limoges 2 juin 1981

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