Géométrie - exercitation 2, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 2 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction numérique g, les 2 nombres entiers naturels x et y, le plan vectoriel euclidien.
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[ Baccalauréat C Dijon juin 1981\

EXERCICE 1 3 POINTS

On considère la fonction numérique g de la variable réelle x telle que

g (x)= x+1+ 3

2x + 1

2 log

x+1

x−1

.

1. Étudier l’ensemble de définition et les variations de la fonction g .

On désigne par Λ la courbe représentative de g dans un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→ )

duplan. (Onprendra 3 cmpour unité sur l’axe des abscisses et 1 cm

sur l’axe des ordonnées.)

2. Montrer que la droite∆ d’équation y = x+1 est asymptote à la courbeΛ. Mon- trer que Λ admet un centre de symétrie dont on précisera les coordonnées dans le repère.

3. Construire Λ.

EXERCICE 2 3 POINTS

1. Montrer que si deux nombres entiers naturels x et y sont premiers entre eux, il en est de même pour les entiers 2x+ y et 5x+2y .

2. Déterminer dansN⋆ les entiers a et b vérifiant

{

(2a+b)(5a+2b) = 1620 ab = 3M

M étant le plus petit commun multiple de a et de b.

PROBLÈME 14 POINTS

Partie A

E désigne un plan vectoriel euclidien. Le produit scalaire de deux vecteurs −→ u et

−→ v

sera noté −→ u ·

−→ v .

Dans tout le problème, −→ e1 et

−→ e2 sont deux vecteurs tels que :

−→ e1 ·

−→ e1 = 1

−→ e2 ·

−→ e2 = 1

−→ e1 ·

−→ e2 = cosθ, oùθ est un réel appartenant à

]

0 ; π

2

]

1. Montrer que (

−→ e1 ,

−→ e2

)

est une base de E.

−→ u et

−→ u′ étant des vecteurs de coordonnées respectives (α ; β) et (α′ ; β′) dans

cette base, exprimer −→ u ·

−→ u′ en fonction de ces coordonnées et de θ.

2. On note :

−→ i =

1

2cos θ2

(

−→ e1 +

−→ e2

)

, −→ j =

1

2sin θ2

(

− −→ e1 +

−→ e2

)

.

Démontrer que (

−→ i ,

−→ j )

est une base orthonormée de E.

Déterminer les coordonnées de −→ e1 et

−→ e2 dans la base

(

−→ i ,

−→ j )

.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

3. Soit f l’application de E dans E définie par :

∀ −→ u ∈ E, f

(

−→ u )

= 1

2

[(

−→ u ·

−→ e1

)

· −→ e1 +

(

−→ u ·

−→ e2

)

· −→ e2

]

Démontrer que f est un automorphisme de E et déterminer la matrice de f

dans la base ( (

−→ i ,

−→ j )

.

Partie B

P désigne un plan affine euclidien associé à E. Soit O un point deP . D1 est la droite

affine passant par O et de vecteur directeur −→ e1 , D2 est la droite affine passant par O

et de vecteur directeur −→ e2 .

Pour tout point M de P , on appelle : M1 la projection orthogonale deM sur D1 ; M2 la projection orthogonale deM sur D2. Dans toute la suite du problème, M ′ désigne le milieu de (M1, M2).

1. a. Démontrer que :

−−−→ OM1 =

(

−−−→ OM ·

−→ e1

)

−→ e1 et

−−−→ OM2 =

(

−−−→ OM ·

−→ e2

)

−→ e2 .

b. Démontrer que l’application g : P → P

M 7−→ g (M)=M ′ est une bijec-

tion affine dont f est l’automorphisme associé.

Exprimer les coordonnées (

x′ ; y ′ )

de M ′ dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

en

fonction des coordonnées (x ; y) deM dans le même repère.

c. Préciser la nature des points invariants de g .

2. Soit (C ) le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l’image (C ′) de (C ) par l’application g .

Comment faut-il choisir θ pour que (C ′) soit un cercle ? Dans le cas contraire, préciser les coordonnées des foyers de (C ′) ainsi que son excentricité.

Partie C

Soit λ un réel strictement positif. Comment faut-il choisir λ pour qu’il existe des points M de P − {O} tels que :

−−−→

OM ′ ∥

∥= λ

−−−→ OM

∥?

(On pourra ramener ce problème à l’étude d’une équation de la forme ax2+by2 = 0 où a et b sont des nombres dépendants de λ et θ.) En déduire que :

M ∈P − {O} : sin2 (

θ

2

)

6

−−−→ OM

−−−→ OM

6 cos2 (

θ

2

)

Partie D

1. Soit ϕ l’application de E × E dans R définie par :

(

−→ u ,

−→ v )

∈ E×E : ϕ (

−→ u ,

−→ v )

= −→ u · f

(

−→ v )

.

Démontrer que ϕ est un produit scalaire sur E.

2. Démontrer que :

quels que soient les points A et M de P , d’images respectives A′ et M ′ par g , on a :

Dijon 2 juin 1981

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

a. −−−→ OM ′ ·

−−→ OA =

−−−→ OM ·

−−→ OA′

b. −−−−→ MM ′ ·

−−→ OA =

−−→ AA′ ·

−−−→ OM .

3. Soit ∆ une droite vectorielle de E. Quel est l’ensemble des points M de P tels

que le vecteur −−−−→ MM ′ soit orthogonal à ∆ ? (On pourra utiliser D 2. b.).

Dijon 3 juin 1981

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