Géométrie - exercitation 4, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fraction irréductible, la période de f.
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[ Baccalauréat C Étranger groupe I juin 1981 \

EXERCICE 1

Calculer les intégrales

I = ∫ π

4

0 cos4 x dx, J =

π

4

0 cos4 x sinx dx, K =

π

4

0 x cosx dx.

EXERCICE 2

On sait que tout rationnel r peut être représenté, de façon unique, par une fraction irréductible (p ∈Z, q ∈N⋆). Soit f l’application deQ dansN⋆ définie par f (r )= q .

1. Montrer que 1 est une période de f .

2. a et b étant deux entiers naturels, montrer que si a et b sont premiers entre eux, alors a+b est premier avec a et avec ab.

3. On désigne par r0 = p0

q0 (p0 et q0 premiers entre eux) un nombre rationnel de

l’intervalle ]0 ; 1[.

Montrer qu’il existe des rationnels de la forme p0

q (p0 et q premiers entre eux)

tels que

f

(

p0

q +

p0

q0

)

= q ·q0 .

En déduire que 1 est la plus petite période de f.

PROBLÈME

Partie A

Soit f la fonction de R vers R définie par

f (x)= √

x2−3x+2.

1. Étudier f et construire sa courbe représentative (Γ) dans le plan affine eucli-

dien E , rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

2. Démontrer que (Γ) est incluse dansune coniqueC dont onprécisera les asymp- totes et les sommets.

Partie B

1. Soit A, B,M , trois points de E de coordonnées respectives (1 ; 0) pour A ; (2 ; 0) pour B ; (x ; y) pour M .

M se projette orthogonalement en K sur la droite passant par A et de vecteur

directeur −→ , en H sur la droite passant par O et de vecteur directeur

−→ ı .

a. Établir que siM a une abscisse différente de 2 et une ordonnée nonnulle, il existe une unique application affine notée ΦM telle que

ΦM (M)=M , ΦM (H)=K , ΦM (B)=A.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

b. Quelle relation doit-il exister entre les coordonnées (x ; y) deM pour que ΦM soit une similitude indirecte ?

2. On pose Γ⋆ = Γ\{A, B} (c’est-à-dire Γ privée des points A et B). Quelle est la nature de ΦM quand M est un point de Γ⋆ ? Préciser alors les éléments géométriques et la forme réduite caractérisant ΦM .

3. M étant un point de Γ⋆, on définit le réel kM par

−−−−−−→ MΦM (B

∥= kM

−−→ MB

∥ .

a. x désignant l’abscisse de M , montrer que

kM = p x2−3x+2 |x−2|

b. Soit g la fonction qui à x associe kM . Établir que g est une bijection de son ensemble de définition sur son ensemble image et qu’il n’existe au- cun point M de Γ⋆ tel que ΦM soit une isométrie.

Partie C

1. (

M , M ′ )

∈ Γ⋆×Γ⋆. Quelle est la nature deΦM ′ ◦ΦM ? 2. Établir que pour tout pointM de Γ⋆, il existe un unique pointM ′ de Γ⋆ tel que

ΦM ′ ◦ΦM soit une isométrie. Préciser le pointM ′, et les éléments géométriques caractérisant alors l’isomé- trie ΦM ′ ◦ΦM . Quel est l’ensemble décrit par son centreω quand M décrit Γ⋆ ?

Étranger groupe I 2 juin 1981

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