Géométrie - exercitation 5, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le logarithme népérien, l’ensemble des applications.
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[ Baccalauréat C Étranger Groupe I bis juin 1981 \

EXERCICE 1

On se propose de résoudre dans Z2 l’équation

(E) 17x−15y = 3.

1. Démontrer que, pour tout couple (x ; y) solution de (E), x est multiple de 3.

2. Déterminer une solution particulière de l’équation (E) puis la résoudre com- plètement.

3. Démontrer que si (x ; y) est un couple solution, le plus grand commun di- viseur de x et y est égal à l’un ou l’autre de deux entiers que l’on précisera. Déterminer tous les couples (x ; y) solutions de (E) tels que x et y ne soient pas premiers entre eux.

EXERCICE 2

Soit P un plan affine euclidien, rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Au

point de P , de coordonnées (x ; y) on associe son affixe x+ iy . On désigne par A le point d’affixe 1.

1. Déterminer, par leurs affixes b et c, deux points B et C de P vérifiant les deux conditions :

a. O est barycentre de A, B, C affectés de coefficients égaux ;

b.

−−→ AB

∥= ∥

−−→ AC

∥= 2 ∥

−−→ BC

∥.

2. Sans refaire les calculs, indiquer par quelle transformation géométrique on passe des résultats obtenus à partir du point A, d’affixe 1, à ceux qu’on obtient à partir du point A′, d’affixe a complexe quelconque.

PROBLÈME

1. a. Étudier et représenter graphiquement (par une courbe C) la fonction G de R dans R définie par

G(x)= LogLog|x|.

Log désignant le logarithme népérien.

b. Montrer que la restriction g de G à l’intervalle I = ]1 ; +∞[ admet une application réciproque que l’on notera h. Expliciter l’image par h d’un réel x.

2. À tout réel k, on associe l’ensemble Ek des applications f de I dans R qui véri- fient la condition :

x ∈ I, f (

x2 )

= f (x)+k.

a. Montrer que E0 est un espace vectoriel réel.

b. Montrer que, pour tout k ∈ R, l’application gk = k

Log2 g est un élément

de Ek .

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

c. Montrer que, pour k donné dans R, Ek est l’ensemble des applications de la forme gk +ϕ, avec ϕ E0. De quelle structure peut-on munir l’en- semble Ek ?

3. a. À toute application ϕ de I dans R, on associe l’application ψ=ϕh de R dans R (h a été définie en 1. b).

Montrer que ϕ appartient à E0 si, et seulement si, ψ admet Log 2 pour période.

On note P l’ensemble des applications de R dans R, de période Log 2.

b. Montrer que Ek est l’ensemble des applications de I dans R de la forme

k

Log g +ψg , avec ψ ∈P.

4. On note θ l’application t 7−→ sin (

2π

Log 2 t

)

, de R dans R ; on note u l’applica-

tion θ g de I dans R. a. Étudier et représenter graphiquement (courbe Γ) la restriction de u à

l’intervalle J = [p

e ; e ]

; on donnera des valeurs approchées à 10−2 près des réels x ∈ J tels que u(x) appartienne à {−1 ; 0 ; 1}.

b. Vérifier que u est un élément de E0.

Représenter graphiquement (courbe Γ′) la restriction de u à l’intervalle

J′ = [

e 1 4 ; e

1 2

]

.

(Unité : 4 cm.)

Étranger Groupe I bis 2 juin 1981

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